结论：员工辱骂客户，一般情况下不能直接要求单位书面道歉，但可根据具体情况，通过不同途径来维护自身权益或促使单位采取相应措施。以下从不同角度为你详细分析：

从员工与单位关系及责任角度

员工辱骂客户，这主要是员工个人的不当行为。单位并非直接实施辱骂行为的主体，从法律责任的直接归属来看，单位没有因为员工个人辱骂行为而直接对客户承担书面道歉责任的义务。不过，如果单位存在管理上的过错，例如没有对员工进行必要的职业道德培训、没有建立有效的客户投诉处理机制等，导致员工辱骂客户事件发生，那么单位可能需要承担一定的管理责任。但这种管理责任通常不是以直接向客户书面道歉的形式体现，而是可能涉及对员工的内部处分、改进管理措施等。

从客户维权途径角度

1. 要求员工道歉：客户可以直接要求辱骂自己的员工进行道歉。如果员工拒绝，客户可以收集相关证据，如现场的录音、录像，其他目击者的证言等，向员工所在单位投诉，要求单位督促员工道歉。单位在接到客户投诉后，有义务进行调查核实，并根据情况要求员工向客户道歉。
2. 向相关部门投诉：如果员工辱骂客户的行为情节严重，违反了相关的行业规定或法律法规，客户可以向相关的监管部门投诉。例如，如果是在金融、医疗等行业，可以向对应的行业监管机构反映情况，监管机构会根据规定对单位进行调查处理，可能会要求单位采取措施纠正员工的不当行为，但这也不一定直接是书面道歉。
3. 通过法律途径解决：如果员工辱骂客户的行为对客户造成了名誉损害等侵权后果，客户可以以员工为被告，向法院提起民事诉讼，要求员工承担侵权责任，包括赔礼道歉、赔偿损失等。在这种情况下，如果法院判决员工赔礼道歉，员工不履行，客户可以申请法院强制执行，法院可能会以公告等形式将判决内容公之于众，以达到赔礼道歉的效果。而单位如果在此过程中没有过错，一般不会被列为被告要求承担赔礼道歉的责任。

从单位内部处理角度

单位为了维护自身的形象和客户关系，在得知员工辱骂客户后，可能会主动采取一些措施。例如，对涉事员工进行批评教育、警告、罚款、辞退等内部处分；同时，为了安抚客户，单位可能会以自己的名义向客户表达歉意，但这种歉意不一定是书面形式，也可能是口头表达或者通过赠送礼品等方式来弥补客户的不满。如果客户坚持要求单位书面道歉，单位是否同意取决于其自身的考量和对客户关系的维护策略。

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