核心结论：对方走保险但不肯垫付费用时，您可以通过以下途径解决，具体如下：

1. 明确法律责任与保险理赔流程
   根据《道路交通安全法》及《机动车交通事故责任强制保险条例》，肇事方有义务配合受害者进行保险理赔，但法律并未强制要求肇事方必须垫付医疗费用。保险公司的理赔流程通常是“事后报销”，即受害者先自行支付费用，再凭票据向保险公司索赔。因此，对方拒绝垫付可能仅是流程问题，而非逃避责任。

2. 与对方及保险公司协商

   • 直接沟通：要求对方提供保险公司联系方式，主动联系保险公司说明情况，询问是否可开通“预付赔款”或“医疗费用直付”服务（部分保险公司支持）。
     
   • 书面催告：若对方拒绝配合，可向其发送书面催告函（保留邮寄凭证），明确要求其协助办理理赔或垫付必要费用，为后续维权留存证据。

3. 申请道路交通事故社会救助基金
   若您经济困难且肇事方未投保或逃逸，可向当地道路交通事故社会救助基金管理机构申请垫付医疗费用。需提交事故认定书、医疗证明等材料，基金垫付后有权向肇事方追偿。

4. 通过法律途径解决

   • 起诉肇事方及保险公司：若协商无果，可直接向法院起诉，要求对方赔偿医疗费、误工费等损失，并申请先予执行（法院可裁定保险公司提前支付部分赔偿）。
     
   • 申请诉前财产保全：为防止对方转移财产，可在起诉前向法院申请冻结其车辆、银行账户等财产，确保后续赔偿能到位。

5. 保留关键证据
   无论选择哪种方式，务必保留好以下证据：

   • 事故认定书、现场照片、监控录像；
     
   • 医疗记录、费用清单、发票；
     
   • 与对方、保险公司的沟通记录（录音、聊天记录等）。

温馨提示：若对方态度恶劣或涉嫌逃逸，立即报警并联系交警部门协助处理。处理过程中如有疑问，可直接向我咨询，我会根据具体情况为您提供更详细的解决方案。