结论前置：没有用工合同的情况下开除人员，用人单位仍可能需要支付赔偿，具体分为未签订书面劳动合同的双倍工资赔偿和违法解除劳动关系的赔偿金两种情况。
一、未签订书面劳动合同的双倍工资赔偿
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，建立劳动关系应当订立书面劳动合同；未同时订立的，应在用工之日起一个月内订立。
- 第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应向劳动者每月支付二倍的工资。
赔偿期限与计算：
- 劳动者可以要求用人单位支付从第二个月起至满一年期间的双倍工资，最多可主张11个月。具体计算公式为：双倍工资差额 = 月工资 × (应签合同未签的月数 - 1)（因为第一个月不需要支付双倍工资）。例如，若劳动者月工资为5000元，工作了8个月未签合同，则可主张的双倍工资差额为5000元 × (8 - 1) = 35000元（但实际最多主张11个月，此处仅为示例计算）。
二、违法解除劳动关系的赔偿金
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反规定解除或终止劳动合同的，应依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
赔偿金计算：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 赔偿金则为经济补偿金的二倍。具体计算公式为：赔偿金 = 2 × (工作年限 × 月工资)（工作年限不足半年的按0.5计算，半年以上不足一年的按1计算）。例如，若劳动者月工资为5000元，工作了8个月被违法开除，则可获得的赔偿金为2 × (0.5 × 5000元) = 5000元（因为工作满半年不足一年按1个月计算经济补偿金，再乘以2得到赔偿金）。但若劳动者工作满1年，则赔偿金为2 × (1 × 5000元) = 10000元。
三、主张赔偿的注意事项
收集证据：
- 劳动者应注意收集能证明劳动关系存在的证据，如工资支付凭证（工资条、银行转账记录等）、工作证、考勤记录、同事证言等。这些证据在主张赔偿时至关重要。
仲裁时效：
- 劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，劳动者应及时主张权利，避免超过仲裁时效。
法律程序：
- 若与用人单位就赔偿问题无法协商一致，劳动者可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁；对仲裁结果不服的，还可向人民法院提起诉讼。在法律程序中，劳动者应充分陈述自己的诉求和理由，并提供相关证据支持。
总结与建议：在没有用工合同的情况下被开除，劳动者有权要求用人单位支付未签订书面劳动合同的双倍工资赔偿以及违法解除劳动关系的赔偿金。具体赔偿数额需根据实际情况和证据来判断。因此，我建议你尽快收集相关证据，并依据上述法律条款和计算公式来估算自己应得的赔偿金额。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。