结论：对方是否需要支付您因处理其垫付的医疗费部分而产生的律师费，这主要取决于双方之间的约定以及案件的具体情况，一般情况下，除非双方有特别约定或法律有特别规定，否则对方无需支付这部分律师费。
分析说明：
合同约定原则：
- 在处理医疗纠纷等法律事务时，律师费的支付通常遵循合同约定原则。即，如果您与对方（或您的委托人）之间有明确的合同或协议，约定了律师费的支付方式和责任方，那么应按照合同或协议的约定来执行。
- 如果合同或协议中明确规定了对方需要支付您因处理其垫付的医疗费部分而产生的律师费，那么对方就有义务按照约定支付。
无约定时的处理原则：
- 如果双方之间没有明确的合同或协议约定律师费的支付方式和责任方，那么通常需要根据案件的具体情况和相关法律法规来判断。
- 在一般情况下，律师费是由委托人（即您或您的客户）自行承担的。除非法律有特别规定（如某些特定类型的案件中，律师费可以由败诉方承担），或者双方有特别约定，否则对方无需支付您的律师费。
特殊情况下的考虑：
- 如果对方垫付医疗费的行为构成了某种法律上的义务或责任（如基于侵权责任、合同责任等），并且您因处理该事务而产生了合理的律师费支出，那么在某些情况下，您可能可以通过法律途径要求对方承担这部分费用。但这通常需要具体的法律分析和证据支持。
- 另外，如果双方在处理医疗纠纷过程中达成了和解协议或调解协议，并且协议中明确规定了律师费的支付方式和责任方，那么也应按照协议的约定来执行。
行动建议：
- 审查合同或协议：首先，您应仔细审查与对方之间签订的合同或协议，看是否有关于律师费支付的明确约定。
- 咨询专业律师：如果合同或协议中没有明确约定，或者您对合同或协议的解释有疑问，建议您咨询专业律师以获取更具体的法律建议。
- 收集证据：如果您认为对方应支付您的律师费，并且您打算通过法律途径来主张这一权利，那么您应收集相关证据来支持您的主张，如律师费发票、合同或协议、和解协议或调解协议等。
最后，需要强调的是，每个案件的具体情况都是独特的，因此上述分析仅供参考。如果您有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。