您好，针对您提出的“母亲患有老年痴呆，其中一个子女是否可以申请成为监护人”的问题，以下是我的详细解答：

首先，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当成年人（包括老年人）因疾病或其他原因丧失或部分丧失民事行为能力时，其监护人的确定是有明确顺序和条件的。在您母亲的情况下，由于她患有老年痴呆，很可能已经被认定为无民事行为能力人或限制民事行为能力人，这时就需要有人来担任她的监护人。

监护人的确定顺序：

1. 配偶：如果您的父亲仍然健在且具备监护能力，他通常是第一顺位的监护人。但考虑到您母亲的情况，如果您的父亲也年事已高或存在其他不适合担任监护人的情形，那么就需要考虑其他顺位的人选。

2. 父母、子女：在配偶不适合担任监护人的情况下，子女（包括您和其他兄弟姐妹）是第二顺位的监护人。您作为子女之一，完全有权向人民法院申请成为您母亲的监护人。

3. 其他近亲属或其他愿意担任监护人的个人或组织：如果前两顺位的人选都不适合或不愿意担任监护人，那么可以考虑其他近亲属或其他愿意担任监护人的个人或组织，但需要经过被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或民政部门的同意。

申请成为监护人的流程：

1. 认定民事行为能力：首先，需要向人民法院申请认定您母亲为无民事行为能力人或限制民事行为能力人。这通常需要通过专业的医学鉴定来完成。

2. 指定监护人：在认定您母亲的民事行为能力后，您可以向人民法院申请指定自己为监护人。法院在指定监护人时，会遵循最有利于被监护人的原则，并考虑申请人的监护能力、经济条件、生活联系等因素。

3. 履行监护职责：一旦被指定为监护人，您就需要切实履行对母亲的经济上供养、生活上照料和精神上慰藉的义务，保障她的合法权益。

特殊情况下的考虑：

• 如果您和其他兄弟姐妹都愿意且有能力担任监护人，法院也可能会考虑指定多人共同担任监护人，以更好地保障您母亲的权益。
• 如果您母亲在意识清醒时已经与某个子女或其他近亲属签订了意定监护协议，那么在该协议合法有效的情况下，意定监护人将优先于法定监护人履行监护职责。

建议：

• 在申请成为监护人之前，建议您与其他兄弟姐妹进行充分沟通，尽量达成共识，以避免家庭矛盾。
• 如果可能的话，可以咨询专业的律师或法律机构，了解具体的申请流程和所需材料，以确保申请的顺利进行。

综上所述，您作为子女之一，完全有权向人民法院申请成为您患有老年痴呆的母亲的监护人。在申请过程中，请遵循相关法律法规和程序要求，并切实履行好监护职责。希望这些信息能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。