当农民工遭遇工资被拖欠的问题时，劳动监察部门（现称人力资源和社会保障局）会依法采取一系列措施来处理，具体处理流程如下：

一、接待与受理

1. 登记信息与初步判断：农民工向劳动监察部门投诉时，工作人员会详细记录其基本信息及拖欠工资的具体情况，如拖欠的时间、金额、用人单位名称等，并初步判断是否属于劳动保障监察的受理范围。若属于，则当场受理；若不属于，会告知农民工应向哪个部门寻求帮助。
2. 出具受理回执：一旦受理，劳动监察部门会向农民工出具受理回执，明确告知案件已被受理及后续的处理流程和大致时间，让农民工了解案件进展。

二、调查核实

1. 证据收集：劳动监察部门会要求农民工提供能证明劳动关系和拖欠工资的证据，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、与用人单位的聊天记录等。这些证据对于后续的处理至关重要，农民工应尽可能提供全面、真实的证据。
2. 立案调查与实地走访：劳动监察部门正式立案后，会安排监察员对案件展开调查。这包括向用人单位送达《劳动保障监察调查询问通知书》，要求其提供相关资料，如工资支付记录、员工名册等，并可能进行实地走访，询问相关人员，全面了解工资支付情况。

三、责令改正与监督执行

1. 下达责令改正通知书：若经调查确认存在拖欠工资行为，劳动监察部门会向用人单位下达《劳动保障监察责令改正决定书》，要求其在规定时间内支付拖欠的工资。这个时间通常会在决定书中明确写明，用人单位必须严格遵守。
2. 监督执行情况：劳动监察部门会密切监督用人单位的执行情况，确保工资得到及时支付。如果用人单位未在规定时间内支付工资，劳动监察部门会采取进一步的措施。

四、行政处罚与移送司法机关

1. 行政处罚：若用人单位拒不执行责令改正决定，劳动监察部门有权依据相关法律法规对其进行行政处罚，如罚款等。对于恶意拖欠工资的行为，劳动监察部门可能会加大处罚力度，以维护农民工的合法权益。
2. 移送司法机关：对于涉嫌拒不支付劳动报酬罪的用人单位及其责任人，劳动监察部门会将案件移送公安机关立案侦查，依法追究其刑事责任。这是针对严重拖欠工资行为的严厉打击措施。

五、协调解决与法律途径

1. 促进双方协商：在处理过程中，劳动监察部门会在农民工和用人单位之间进行协调，促使双方就工资支付问题达成协议，以尽快解决纠纷。这有助于减少诉讼成本，提高解决效率。
2. 申请劳动仲裁与提起诉讼：若协商和投诉均无法解决问题，农民工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁结果不满意时，还可在规定期限内向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自身合法权益。这是农民工在无法通过其他途径解决问题时的最终保障。

六、结案与反馈

1. 结案处理：当用人单位按照要求支付了拖欠的工资，或者案件经过处理程序达到法定结案条件时，劳动监察部门会对案件进行结案处理。
2. 反馈处理结果：劳动监察部门会及时将案件的处理结果反馈给农民工，告知其工资是否已成功追回等情况。这有助于农民工了解案件进展和结果，增强其对法律的信任感。

在整个处理过程中，农民工应积极配合劳动监察部门的调查工作，并妥善保留相关证据。同时，劳动监察部门也会依法依规处理此类问题，确保农民工的合法权益得到有效保障。 如果您在处理过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。