关于刑事案件37天后取保候审，公安起诉时间的问题，首先需要明确的是，取保候审的申请时机与公安起诉的时间是两个相对独立但又相互关联的法律程序。以下是对这一问题的详细解答：

1. 取保候审的申请时机：

   • 取保候审并非必须在37天后才能申请。实际上，只要符合取保候审的条件，犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或者辩护人可以在刑事诉讼的任何一个阶段提出申请。
   • “37天”这一说法通常与刑事拘留的期限有关，而非取保候审的申请期限。在刑事案件中，公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当提请人民检察院审查批准，这一时间最长可达37天（包括拘留后的三日以内，特殊情况下延长的一日至四日，以及对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子提请审查批准的时间延长至三十日，再加上人民检察院审查批准逮捕的七日）。但这并不意味着只能在这37天之后才能申请取保候审。

2. 公安起诉的时间：

   • 公安起诉的时间并非固定，而是取决于案件的具体情况和侦查进展。在取保候审后，公安机关会继续侦查案件，如果认为证据充分，符合起诉条件，就会将案件移送人民检察院审查起诉。
   • 审查起诉阶段，人民检察院会对案件进行全面审查，包括证据的合法性、充分性等。如果人民检察院认为案件符合起诉条件，就会向人民法院提起公诉。
   • 因此，公安起诉的时间可能因案件复杂程度、证据收集情况等因素而有所不同，无法给出一个具体的时间点。

3. 取保候审与公安起诉的关系：

   • 取保候审是一种非羁押性强制措施，其目的在于保障刑事诉讼的顺利进行，同时保护犯罪嫌疑人的合法权益。
   • 取保候审并不影响公安机关对案件的侦查和起诉。在取保候审期间，犯罪嫌疑人仍需遵守相关规定，如随传随到、不得离开指定居所等。
   • 如果犯罪嫌疑人在取保候审期间违反规定，或者公安机关发现新的证据证明其有犯罪事实，可能会撤销取保候审决定，重新采取羁押措施，并继续侦查和起诉。

法律建议：

• 对于犯罪嫌疑人及其家属来说，如果希望申请取保候审，应尽早咨询专业律师，了解取保候审的条件和申请流程。
• 在取保候审期间，犯罪嫌疑人应严格遵守相关规定，积极配合公安机关的侦查工作，以便为后续的辩护工作创造有利条件。
• 如果对公安起诉的时间或程序有疑问，也可以直接向我咨询，我会根据案件的具体情况为你提供专业的法律建议。

总结：刑事案件37天后取保候审并不意味着公安会在某个固定时间起诉。取保候审的申请时机与公安起诉的时间是两个相对独立的法律程序，各自有其独立的条件和流程。因此，无法给出一个具体的公安起诉时间点。如果对这方面有进一步的疑问或需要法律帮助，可以直接向我咨询。