关于公务员成为“老赖”（即失信被执行人）后是否可以正常上班的问题，这涉及多个层面的考量，包括法律规定、纪律要求以及社会影响等。

首先，从法律层面来看，公务员成为失信被执行人，并不直接导致其停职或离职。根据相关法律规定，法律并未明确赋予失信被执行人超出普通公民的其他义务，也就是说，法律不能因为某人是公务员就对其从重处理。公务员法中也没有明确规定，成为失信被执行人就必须退出公务员队伍。然而，这并不意味着公务员成为失信被执行人后不会受到任何影响。

其次，从纪律要求来看，公务员作为公职人员，受到更为严格的纪律约束。除了遵守法律法规外，公务员还需遵守政治纪律、组织纪律、工作纪律、廉洁纪律、生活纪律等多方面的纪律要求。成为失信被执行人，无疑会对公务员的职业道德和形象造成负面影响，这可能引发对其是否适合继续担任公职的质疑。在实际操作中，失信情况往往会被作为公务员评先、评优、晋职晋级的参考，甚至可能影响其职务的晋升和调整。

再者，从社会影响来看，公务员作为政府形象的代表，其失信行为会严重损害政府公信力。公务员的失信行为一旦曝光，往往会引起社会广泛关注和热议，对政府形象造成负面影响。因此，即使从法律层面公务员可以继续上班，但从维护政府形象和公信力的角度出发，相关部门和单位往往会对失信公务员采取一定的管理措施，如进行诫勉谈话、调整工作岗位等。

具体到实际案例，如山东省临沂市蒙阴县市场监督管理局的一位领导被列入失信人员名单后仍正常上班的情况，这并不意味着所有失信公务员都可以不受影响地继续工作。每个案例都有其特殊性，需要综合考虑多种因素。但无论如何，公务员成为失信被执行人后，其工作和生活都会受到一定程度的限制和影响。

综上所述，公务员成为失信被执行人后，虽然法律上并未直接规定其必须停职或离职，但从纪律要求和社会影响的角度来看，其工作和生活都会受到一定程度的限制和影响。相关部门和单位应根据具体情况采取适当的管理措施，以维护政府形象和公信力。同时，公务员自身也应严格遵守法律法规和纪律要求，树立良好的职业道德和形象。