结论：公司出纳私自转账6500元给自己的行为，在法律上可能构成职务侵占罪或挪用资金罪，具体取决于转账的性质、目的以及后续行为。以下是对此问题的详细分析：
一、法律定性
职务侵占罪：
- 定义：根据《中华人民共和国刑法》第二百七十一条，公司、企业或者其他单位的工作人员，利用职务上的便利，将本单位财物非法占为己有，数额较大的，构成职务侵占罪。
- 应用：若出纳利用职务之便，将公司资金6500元非法占为己有，且数额达到当地规定的“数额较大”标准（一般为一万元以上，但具体标准可能因地区而异），则可能构成职务侵占罪。
挪用资金罪：
- 定义：根据《中华人民共和国刑法》第二百七十二条，公司、企业或者其他单位的工作人员，利用职务上的便利，挪用本单位资金归个人使用或者借贷给他人，数额较大、超过三个月未还的，或者虽未超过三个月，但数额较大、进行营利活动的，或者进行非法活动的，构成挪用资金罪。
- 应用：若出纳将公司资金6500元挪用归个人使用，且符合上述挪用资金罪的构成要件（如数额较大、超过三个月未还等），则可能构成挪用资金罪。但需注意，6500元是否构成“数额较大”也需根据当地标准判断。
二、法律后果
刑事责任：
- 若构成职务侵占罪或挪用资金罪，出纳将面临刑事处罚，包括有期徒刑、拘役或罚金等。具体刑罚将根据犯罪情节、数额大小以及悔罪表现等因素综合确定。
民事责任：
- 无论是否构成犯罪，出纳都需要承担民事责任，即返还公司被侵占或挪用的资金，并可能需赔偿公司因此遭受的损失。
三、建议措施
立即报警：
- 公司应尽快向公安机关报案，提供相关证据（如转账记录、出纳的职务证明等），以便公安机关立案侦查。
内部调查：
- 公司应同时开展内部调查，查明转账的具体原因、目的以及出纳的其他可能违法行为，为后续的法律程序提供有力支持。
法律咨询：
- 在处理此类事件时，公司应咨询专业律师的意见，以确保法律程序的合法性和有效性。作为牟德栋律师，我擅长处理公司事务、合同纠纷以及知识产权领域的法律问题，如有需要，可直接向我咨询。
完善内部管理：
- 公司应借此机会完善内部财务管理制度，加强对出纳等关键岗位人员的监督和管理，防止类似事件再次发生。
进一步思考：在处理此类事件时，公司还需考虑如何平衡法律追究与内部和谐的关系。一方面，要坚决维护公司的合法权益；另一方面，也要关注员工的心理健康和职业发展，避免因处理不当而引发更大的内部矛盾。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。