结论：在您描述的情况下，即使您认为自己在家庭开支上已经承担了大部分费用，对方仍然有权起诉要求抚养费。这主要取决于法律对抚养费的规定以及双方的具体情况。以下是对此问题的详细分析：

一、抚养费的法律依据

根据《中华人民共和国民法典》及相关司法解释，父母对子女有抚养教育的义务。这种义务不因父母是否离婚而消除。离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。抚养费的具体数额和支付方式，通常由双方协议确定；协议不成的，由人民法院判决。

二、抚养费的确定因素

1. 子女的实际需要：这包括子女的生活费、教育费、医疗费等必要支出。法院在判决时会考虑子女的实际需求，确保抚养费能够满足子女的基本生活和学习需要。
2. 父母双方的负担能力：法院会评估父母双方的经济状况，包括收入、财产等，以确定各自应承担的抚养费比例。即使您认为自己在家庭开支上已经承担了大部分费用，但如果您的经济状况允许，且对方确实存在经济困难或子女有特殊需求，法院仍可能判决您支付一定数额的抚养费。
3. 当地的实际生活水平：法院在判决时还会考虑当地的生活水平，以确保抚养费的数额既不过高也不过低，能够符合当地的实际消费情况。

三、您可能面临的法律后果

1. 如果法院判决您支付抚养费：您需要按照判决确定的数额和支付方式按时支付抚养费。如果您不履行判决，对方可以向法院申请强制执行，这可能会对您的信用记录产生负面影响，并可能导致您的财产被查封、扣押或拍卖。
2. 如果您认为判决不公：您可以在法定期限内向上一级人民法院提起上诉，请求重新审理案件。在上诉过程中，您需要提供充分的证据来证明自己的主张，如经济状况证明、对方的经济状况证明等。

四、建议与措施

1. 收集证据：如果您认为自己已经承担了大部分家庭开支，且对方的经济状况并不困难，您可以收集相关证据，如银行转账记录、购物发票、家庭开支明细等，以证明自己的主张。
2. 积极应诉：在收到对方的起诉状后，您应积极准备应诉材料，包括答辩状、证据材料等，并在法定期限内向法院提交。在应诉过程中，您可以提出自己的抗辩理由和证据，以维护自己的合法权益。
3. 寻求调解：如果可能的话，您可以尝试与对方进行调解，通过协商达成一个双方都能接受的抚养费支付方案。调解不仅可以节省时间和精力，还可以避免不必要的法律纠纷。

最后，抚养费问题涉及子女的切身利益和父母的法律责任，因此需要谨慎对待。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。