结论：劳动监察部门可以受理涉及经济补偿金的相关投诉，并依法对用人单位的违法行为进行调查处理。但劳动者在维权过程中，也应了解劳动仲裁和诉讼等其他途径，以确保自身合法权益得到充分保障。
详细分析：
劳动监察部门的职责与受理范围：
- 劳动监察部门作为劳动行政部门，负责对用人单位遵守劳动法律法规的情况进行监督检查，并处理违法行为。其职责明确包括监督用人单位是否依法支付经济补偿金等。
- 当劳动者认为用人单位存在应当支付经济补偿金却未支付的违法情形时，可以向劳动监察部门投诉。劳动监察部门会依法进行调查核实，并根据调查结果采取相应的处理措施。
劳动监察部门的处理方式：
- 劳动监察部门在接到投诉后，会依法进行调查，包括审查用人单位的用工情况、经济补偿金的支付情况等。
- 若经调查确认用人单位存在未依法支付经济补偿金的违法行为，劳动监察部门会责令用人单位改正，并要求其依法支付经济补偿金等相关费用。
- 若用人单位在规定期限内仍未支付，劳动监察部门还可以采取进一步的措施，如下达行政处理决定，甚至责令用人单位按应付金额一定比例向劳动者加付赔偿金。
劳动监察的局限性及劳动仲裁的补充作用：
- 劳动监察部门的处理方式主要是督促用人单位履行法定义务。对于一些复杂的经济补偿金纠纷，如双方对支付条件、计算方式等存在争议的情况，劳动监察部门可能只能进行调解或督促双方协商解决，而无法直接作出裁决。
- 此时，劳动者可以通过劳动仲裁途径来主张自己的权益。劳动仲裁程序更侧重于居中裁判双方的劳动争议，并且作出的裁决具有更强的法律强制执行力。
劳动者维权的建议：
- 劳动者在维权过程中，应了解多种维权途径，包括劳动监察、劳动仲裁和诉讼等，并根据具体情况合理选择。
- 同时，准备好相关证明材料以配合调查，也是确保自身权益得到有效维护的重要环节。例如，劳动合同、工资单、解除劳动合同的证明等，都是证明用人单位应支付经济补偿金的重要证据。
举例说明：
假设劳动者小张因用人单位未依法支付经济补偿金而向劳动监察部门投诉。劳动监察部门在接到投诉后，依法进行了调查，并确认了用人单位的违法行为。随后，劳动监察部门责令用人单位改正，并要求其依法支付小张的经济补偿金。若用人单位在规定期限内仍未支付，劳动监察部门还可以采取进一步的措施，如下达行政处理决定或加付赔偿金等。若双方对经济补偿金的支付条件或计算方式存在争议，小张还可以选择通过劳动仲裁途径来主张自己的权益。
总结与建议：
劳动监察部门在受理经济补偿金问题方面发挥着重要作用，但劳动者也需了解其他维权途径，并在实际操作中根据具体情况灵活选择。若您在劳动维权过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。