结论：公司营业期限到期后被起诉的情况是否会持续，主要取决于公司是否及时办理了营业期限的续展手续以及起诉的具体内容。以下从不同角度进行分析：
一、公司及时办理营业期限续展的情况
法律背景：
- 根据《中华人民共和国公司法》的相关规定，公司营业期限届满后，可以通过修改公司章程并办理变更登记手续来续展营业期限。
法律后果：
- 如果公司在营业期限届满前或届满后及时办理了续展手续，并获得了新的营业执照，那么公司将继续享有合法的经营资格。
- 在此情况下，如果公司之前被起诉的事项与营业期限无关，或者虽然有关但公司已经通过续展解决了相关问题，那么被起诉的情况通常不会因营业期限到期而持续。
建议：
- 公司应密切关注营业期限的到期时间，并提前准备续展手续，以避免因营业期限到期而引发的法律风险。
二、公司未及时办理营业期限续展的情况
法律背景：
- 如果公司未能在营业期限届满前或届满后及时办理续展手续，那么公司将失去合法的经营资格。
法律后果：
- 被起诉事项与营业期限直接相关：如果公司被起诉的事项直接与其营业期限相关，例如因超期经营而被行政处罚或面临民事诉讼，那么在公司未办理续展手续的情况下，被起诉的情况很可能会持续，并且公司可能面临更严重的法律后果，如罚款、吊销营业执照等。
- 被起诉事项与营业期限间接相关：如果公司被起诉的事项与营业期限间接相关，例如因合同违约而被起诉，那么营业期限到期本身可能不会直接影响诉讼的进行。但是，如果公司因失去经营资格而无法履行合同义务，那么这可能会成为对方在诉讼中主张公司违约的依据之一。
建议：
- 如果公司因各种原因未能及时办理营业期限续展手续，应尽快采取补救措施，如向工商行政管理部门申请恢复经营资格或办理注销登记等。
- 同时，公司应积极应对被起诉的情况，根据诉讼的具体内容制定相应的应诉策略，以维护公司的合法权益。
三、特殊情况下的考虑
- 公司正在清算或破产程序中：如果公司正在清算或破产程序中，那么营业期限的到期可能不会对诉讼的进行产生直接影响。但是，清算组或破产管理人应密切关注公司的法律状态，并根据实际情况采取相应的法律措施。
- 诉讼涉及多方主体或复杂法律关系：如果诉讼涉及多方主体或复杂法律关系，那么营业期限的到期可能只是诉讼中的一个因素。在这种情况下，需要综合考虑各种因素来评估诉讼的走向和可能的结果。
总结与启示：公司营业期限到期后被起诉的情况是否会持续，取决于公司是否及时办理了续展手续以及起诉的具体内容。因此，公司应密切关注营业期限的到期时间，并提前准备续展手续。同时，如果公司面临诉讼，应根据诉讼的具体内容制定相应的应诉策略，以维护公司的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。