您可以起诉离婚，并主张损害赔偿及争取财产分配上的倾斜，同时可就对方重婚行为追究其刑事责任（如有证据）。 以下是具体分析：

1. 关于离婚诉讼的启动与结果
   根据《民法典》第1079条，“重婚或者与他人同居”属于法定离婚事由，您可直接向法院起诉离婚，法院一般会判决准予离婚。需注意：需提供初步证据证明对方与他人长期同居并生育子女（如聊天记录、邻居证言、孩子出生证明等），否则可能因“证据不足”被驳回，但二次起诉时法院通常会认定感情破裂。

2. 关于损害赔偿请求权
   根据《民法典》第1091条，因对方“重婚或与他人同居”导致离婚的，您有权请求损害赔偿。赔偿范围包括精神损害抚慰金（通常5000-5万元，具体由法院酌定）及因对方过错导致的直接经济损失（如为处理此事产生的合理费用）。需在离婚诉讼中一并主张，否则可能丧失权利。

3. 关于财产分配的倾斜
   根据《民法典》第1087条，法院分割财产时会照顾无过错方。您可主张多分共同财产（如70%：30%），但需提供对方存在重大过错的证据（如同居协议、转账记录等）。若对方用夫妻共同财产为第三者购房、转账，您还可单独起诉第三者返还财产（需以“赠与合同无效”为由）。

4. 关于重婚罪的刑事追责（可选）
   若对方与第三者以夫妻名义共同生活（如对外称夫妻、共同举办婚礼等），则构成重婚罪（《刑法》第258条），您可向公安机关报案或直接向法院提起刑事自诉。需注意：仅生育子女不必然构成重婚罪，需证明“以夫妻名义同居”的证据（如邻居证言、社区登记记录等）。

行动建议：

1. 立即收集证据：包括对方与第三者的同居证明、孩子出生证明、转账记录、聊天记录等（注意合法性，避免侵犯隐私）；
   
2. 咨询律师制定诉讼策略：根据证据情况决定是否同时主张离婚、损害赔偿、财产多分及刑事追责；
   
3. 提起诉讼：向被告户籍地或经常居住地法院起诉，同步申请财产保全（防止对方转移财产）。
   

提示：此类案件证据收集是关键，建议尽快行动以避免证据灭失。若需进一步协助，可随时向我提供具体细节，我会为您制定详细方案。