离婚后，无论孩子随母亲生活还是随父亲生活，父亲都有权利要求做亲子鉴定。以下是详细分析：
法律权利基础：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对子女享有亲权，这包括对子女身份的确认权。亲子鉴定是确认亲子关系的一种科学手段，因此，父亲作为亲权人之一，有权要求进行亲子鉴定以确认自己与孩子的亲子关系。
实际操作中的考虑：
- 协商同意：虽然父亲有权利要求做亲子鉴定，但最好还是与母亲进行协商，取得她的同意。因为亲子鉴定涉及到孩子的隐私和身心健康，需要谨慎处理。如果母亲同意，可以共同选择一家正规的鉴定机构进行鉴定。
- 法院诉讼：如果母亲不同意进行亲子鉴定，而父亲有充分的理由怀疑孩子与自己的亲子关系，他可以向法院提起诉讼，请求法院确认亲子关系。在诉讼过程中，如果法院认为有必要，可以委托鉴定机构进行亲子鉴定。
注意事项：
- 保护孩子权益：在进行亲子鉴定时，必须充分考虑孩子的权益和感受。避免因为鉴定过程对孩子造成不必要的心理伤害。
- 选择正规机构：确保选择的鉴定机构具有合法资质和良好信誉，以保证鉴定结果的准确性和可靠性。
- 法律后果：如果鉴定结果确认父亲与孩子存在亲子关系，那么父亲将承担相应的法律责任和义务，如抚养费支付等。如果鉴定结果否定亲子关系，那么父亲将不再承担这些责任和义务。