若因醉驾被判处3个月拘役后逃跑，将面临以下法律后果：

1. 原判刑罚继续执行
   根据《刑法》第46条，拘役由公安机关就近执行，服刑期间脱逃的，脱逃期间不计入刑期。逃跑后若被抓获，需继续服完剩余刑期（即3个月），且脱逃期间无任何刑期折抵。

2. 构成脱逃罪，数罪并罚
   根据《刑法》第316条，依法被关押的罪犯脱逃的，处5年以下有期徒刑或拘役。若因醉驾被判拘役后逃跑，将因脱逃罪被单独定罪，与原醉驾判决数罪并罚。例如：

   • 原判拘役3个月；
     
   • 脱逃罪判1年；
     
   • 最终合并执行有期徒刑1年（拘役被吸收，按较重的有期徒刑处罚）。

3. 加重处罚情节
   若脱逃期间实施其他犯罪（如盗窃、抢劫等），将按新罪与脱逃罪、原醉驾罪三罪并罚，刑期显著加重。

4. 行政处罚与信用惩戒

   • 逃跑行为可能被录入个人征信系统，影响贷款、出行等；
     
   • 若持有驾驶证，可能被吊销且5年内不得重新取得；
     
   • 公务员、事业单位人员可能面临开除公职处分。

建议：
若已因醉驾被判刑，务必遵守监管规定，按时服刑。逃跑只会让法律后果更严重，且脱逃期间无自由，最终仍需服刑。如有特殊困难（如健康问题），可依法申请暂予监外执行，而非选择逃跑。

温馨提示：法律问题需具体分析，若有细节需要补充（如是否已收监、逃跑方式等），可直接向我咨询，我会结合实际情况为您详细解答。