结论前置：在悬赏广告中，若一方不履行支付赏金的义务，另一方通常无权直接留置相关物品，但可以通过法律途径来维护自己的权益。

一、留置权的行使条件与悬赏广告的不匹配性

留置权是一种法定的担保物权，其行使有严格的条件限制。根据《民法典》的相关规定，留置权通常适用于基于合同等合法占有的动产，并且债权人留置的动产应当与债权属于同一法律关系。然而，在悬赏广告的情境中，完成悬赏行为的一方（如拾得遗失物并归还的人）对相关物品的占有并非基于合同关系，而是基于拾得这一事实行为。因此，这种占有与悬赏广告中约定的赏金支付义务并不构成同一法律关系，从而不符合留置权的行使条件。

二、悬赏广告中的权利与义务

1. 权利：

   • 报酬请求权：完成悬赏行为的一方有权要求悬赏人按照承诺支付报酬。

2. 义务：

   • 履行悬赏行为：完成悬赏广告中指定的行为或任务。
   • 交付成果：将完成悬赏行为的成果交付给悬赏人。

三、维权途径

若悬赏人拒绝支付赏金，完成悬赏行为的一方可以通过以下途径来维护自己的权益：

1. 协商：

   • 首先尝试与悬赏人进行协商，寻求和解并达成支付赏金的协议。

2. 诉讼：

   • 若协商不成，可以向法院提起诉讼，要求判令悬赏人支付悬赏广告中约定的报酬。在诉讼过程中，需要提供悬赏广告的相关证据、完成悬赏行为的证据以及与悬赏人之间的沟通记录等，以证明自己的主张。

四、特殊情况下的考虑

虽然一般情况下完成悬赏行为的一方无权留置相关物品，但在特定情况下，如悬赏人拒绝支付因保管悬赏物品而产生的必要费用时，完成悬赏行为的一方可能可以基于《民法典》中关于留置权的规定行使留置权。然而，这种情况在悬赏广告中较为罕见，且需符合严格的法律条件。

五、实际操作建议

• 保留证据：在完成悬赏行为后，务必保留好相关证据，如悬赏广告的截图、完成行为的证明、与悬赏人的沟通记录等。
• 及时沟通：若悬赏人拒绝支付赏金，应及时与悬赏人进行沟通，并尝试通过协商解决问题。
• 寻求法律帮助：若协商无果，可以向我咨询或寻求其他法律专业人士的帮助，通过法律途径来维护自己的权益。

综上所述，虽然完成悬赏行为的一方在悬赏人拒绝支付赏金时无权直接留置相关物品，但可以通过协商、诉讼等法律途径来维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。