核心结论：和医院签订无固定期限劳动合同后，若医院违法解除或终止合同，赔偿方式主要依据《劳动合同法》的相关规定，具体赔偿情况需根据解除或终止合同的原因及实际情况来确定。以下分情况详细说明：
医院违法解除劳动合同：
- 赔偿标准：根据《劳动合同法》第八十七条，医院违法解除劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 经济补偿标准：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资，且若劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
- 示例：若劳动者在医院工作10年，月工资为1万元（未超过当地职工月平均工资三倍），则医院违法解除劳动合同时，应支付的赔偿金为20万元（10年×1万元/年×2倍）。
医院提出协商解除劳动合同：
- 赔偿情况：若医院提出并与劳动者协商一致解除劳动合同的，医院需按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿。这与违法解除时的赔偿标准不同，此时是单倍经济补偿，而非双倍赔偿。
- 示例：同样工作10年，月工资1万元的情况下，协商解除时医院应支付的经济补偿为10万元。
劳动者提出解除劳动合同：
- 赔偿情况：若劳动者因个人原因（如找到更好的工作、家庭原因等）主动提出解除劳动合同的，通常情况下医院无需支付经济补偿或赔偿金。但若医院存在未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等违法行为，劳动者以此为由提出解除劳动合同的，医院仍需按上述经济补偿标准支付经济补偿。
合同终止的赔偿情况：
- 法定终止情形：如劳动合同期满、劳动者开始依法享受基本养老保险待遇等法定情形导致劳动合同终止的，医院通常无需支付经济补偿或赔偿金（但除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同期满终止固定期限劳动合同的，医院需支付经济补偿）。
- 医院违法终止：若医院违反法律规定终止劳动合同（如在劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内；女职工在孕期、产期、哺乳期等情形下终止合同），则需按违法解除劳动合同的标准支付赔偿金。
建议：在处理与医院之间的劳动合同纠纷时，建议劳动者首先与医院进行协商，尝试通过友好方式解决争议。若协商无果，可向当地劳动争议调解委员会申请调解，或直接向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁裁决不服的，还可以向人民法院提起诉讼。在整个过程中，保留好相关证据（如劳动合同、工资单、解除或终止合同的通知等）至关重要。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。