结论：私生子在法律上享有与婚生子女同等的继承遗产的权利，这一权利不因原配妻子的不同意而丧失。

法律背景与解释：

1. 法定继承权：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，非婚生子女（即私生子）与婚生子女享有同等的法律地位，包括继承权。这意味着，无论私生子的出生是否得到原配妻子的同意或认可，他们都有权继承其生父母的遗产。

2. 继承顺序与份额：

   • 在法定继承中，私生子与婚生子女同属于第一顺序继承人。如果生父母去世且未留下遗嘱，私生子将与其他第一顺序继承人（如配偶、其他子女、父母等）共同继承遗产，继承份额一般均等。当然，如果生父母在遗嘱中明确指定了遗产的分配方式，那么将按照遗嘱执行。

3. 原配妻子的态度：

   • 原配妻子的不同意并不影响私生子的继承权。继承权是基于法律规定的，而不是基于某个人的意愿或态度。因此，即使原配妻子不同意，私生子仍然有权继承其生父母的遗产。

4. 实际操作中的注意事项：

   • 在实际操作中，私生子要行使继承权，可能需要提供一些证据来证明其与生父母的亲子关系，如出生证明、亲子鉴定报告等。
   • 如果遗产继承过程中出现争议或纠纷，私生子可以通过法律途径来维护自己的权益，如向法院提起诉讼等。

法律建议：

• 如果您是私生子的法定代理人或相关利益方，且担心遗产继承问题，建议提前收集并保存好相关证据，如亲子关系证明、生父母的遗嘱（如有）等。
• 在遗产继承过程中，如果遇到任何争议或纠纷，建议及时咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。

可能的法律后果：

• 如果私生子的继承权受到侵害，他们有权向法院提起诉讼，要求确认继承权并分割遗产。
• 法院将根据相关法律法规和证据材料，对遗产继承问题进行公正裁决，确保私生子的合法权益得到保护。