结论：根据您描述的情况，因去完成公司任务而不慎摔下楼梯，一般应当认定为工伤。不过，具体是否构成工伤还需结合实际情况和相关证据进行综合判断。

法律背景与依据

根据《工伤保险条例》第十四条的规定，职工有下列情形之一的，应当认定为工伤：

1. 在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的；
2. 工作时间前后在工作场所内，从事与工作有关的预备性或者收尾性工作受到事故伤害的；
3. 在工作时间和工作场所内，因履行工作职责受到暴力等意外伤害的；
4. 患职业病的；
5. 因工外出期间，由于工作原因受到伤害或者发生事故下落不明的；
6. 在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的；
7. 法律、行政法规规定应当认定为工伤的其他情形。

具体分析

1. 工作时间与工作场所：

   • 您是在去完成公司任务的过程中摔下楼梯的，这通常意味着您处于工作时间和工作场所内（或因工作原因外出期间）。

2. 工作原因：

   • 摔下楼梯是由于执行公司任务导致的，即因工作原因受到事故伤害。这是认定工伤的关键要素。

3. 证据收集：

   • 为了证明您的伤害与工作有关，您需要收集相关证据，如工作记录、同事证言、现场照片或视频等。这些证据将有助于支持您的工伤认定申请。

可能的法律后果与建议

1. 工伤认定申请：

   • 您应及时向公司报告此次事故，并要求公司协助您向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。
   • 如果公司拒绝协助或不予认可，您也可以自行向社会保险行政部门提出申请。

2. 工伤待遇：

   • 一旦被认定为工伤，您将有权享受工伤保险待遇，包括医疗费用报销、停工留薪期工资、伤残补助金等。

3. 法律途径：

   • 如果公司未依法为您缴纳工伤保险费，或者对工伤认定结果有异议，您可以通过法律途径维护自己的合法权益。

特殊情况考虑

• 非工作时间或非工作场所：如果您摔下楼梯的时间或地点与工作无直接关联（如在下班后、非工作场所等），则可能不构成工伤。但根据您描述的情况，这似乎并不适用。
• 故意或重大过失：如果您因故意或重大过失导致自己摔下楼梯（如醉酒、故意违反安全规定等），则可能影响工伤的认定。但一般情况下，不慎摔下楼梯并不属于此类情形。

最后，我建议您尽快收集相关证据，并向公司或社会保险行政部门提出工伤认定申请。如果您在过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供进一步的法律建议和帮助。