结论：出租司机因公负伤，在工伤期间一般不需要承担公司的承包费。以下从不同角度为你详细分析：

法律角度

根据《工伤保险条例》的相关规定，职工因工作遭受事故伤害或者患职业病需要暂停工作接受工伤医疗的，在停工留薪期内，原工资福利待遇不变，由所在单位按月支付。这意味着在工伤停工留薪期内，司机的主要权益是获得原工资福利待遇，而并没有规定需要承担承包费。

从法律逻辑上讲，承包费是司机基于与公司的承包经营合同关系而应承担的费用。但在工伤期间，司机因伤无法正常工作，这种无法工作是由于工作原因导致的，属于工伤范畴，此时要求司机承担承包费有违公平原则。因为司机并非主观上不愿意工作，而是客观上因伤无法工作。

合同角度

如果司机与公司签订的承包经营合同中有明确约定，在工伤期间司机仍需承担承包费，那么从合同约定的角度来看，似乎司机需要承担。但是，这种约定可能因违反法律法规的强制性规定而无效。因为《工伤保险条例》等法律法规对于工伤职工的权益保护具有强制性，如果合同条款与法律法规相冲突，应当以法律法规为准。

例如，假设合同中约定“无论何种原因，司机每月都需向公司缴纳一定数额的承包费”，这样的条款在司机因公负伤停工留薪期间就可能被认定为无效，因为这加重了司机的负担，损害了其作为工伤职工应享有的合法权益。

实际处理建议

1. 与公司协商：司机可以先与公司进行友好协商，向公司说明自己在工伤期间的实际情况和法律法规的规定，争取公司免除或减少承包费的缴纳。在协商过程中，可以提供工伤认定书、医疗证明等相关材料，以证明自己确实处于工伤停工留薪期。
2. 申请劳动仲裁：如果协商无果，司机可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。在仲裁申请中，要明确提出自己的仲裁请求，如要求公司免除工伤期间的承包费等，并提交相关证据材料，如承包经营合同、工伤认定书、工资发放记录等。
3. 提起诉讼：如果对劳动仲裁结果不满意，司机还可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，要充分阐述自己的观点和理由，提供充分的证据支持自己的主张。

后续行动建议：如果你遇到了这种情况，建议先收集好相关证据，如工伤认定书、承包经营合同等，然后按照上述建议的步骤进行处理。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律意见和帮助。