结论：公司出钱员工送客户礼品是否构成行贿罪，不能一概而论，需根据具体情形判断责任归属，可能涉及公司、员工或双方共同责任。以下从不同角度详细分析：

一、行贿罪的构成要件与责任主体

根据《刑法》第三百八十九条，行贿罪需满足“为谋取不正当利益，给予国家工作人员财物”的要件。关键点：

1. 对象身份：若客户为国家工作人员（如公务员、国企管理人员等），则可能涉及行贿；若为普通企业人员，则可能构成对非国家工作人员行贿罪（《刑法》第一百六十四条）。
2. 利益性质：若送礼目的是谋取不正当利益（如违规中标、逃避监管等），则构成犯罪；若为正常商业礼节（如节日问候、小额纪念品），通常不构成犯罪。
3. 财物价值：司法实践中，财物价值需达到一定标准（如3万元以上）才可能被追诉，但具体标准因地区而异。

责任主体：

• 公司责任：若公司决策层直接授意或默许员工行贿，且行贿行为体现公司意志，公司可能构成单位行贿罪（《刑法》第三百九十三条）。
• 员工责任：若员工为个人业绩或私利，未经公司同意擅自行贿，则员工个人构成行贿罪。
• 共同责任：若公司与员工共谋行贿，则双方构成共同犯罪，需根据分工承担责任。

二、具体情形分析

1. 公司授意员工行贿

   • 情形：公司高层明确要求员工向客户（国家工作人员）送礼，并承诺报销费用。
   • 责任：公司构成单位行贿罪，直接负责的主管人员和其他直接责任人员（如员工）可能被追诉。
   • 法律依据：《刑法》第三百九十三条：“单位为谋取不正当利益而行贿，或者违反国家规定，给予国家工作人员以回扣、手续费，情节严重的，对单位判处罚金，并对其直接负责的主管人员和其他直接责任人员，处五年以下有期徒刑或者拘役，并处罚金。”

2. 员工擅自行贿

   • 情形：员工为完成业绩指标，自行决定向客户送礼，并虚报费用。
   • 责任：员工个人构成行贿罪，公司若未参与且不知情，一般不承担刑事责任。
   • 例外：若公司财务管理混乱，默许员工虚报费用，可能被推定为“应当知道”行贿行为，从而承担连带责任。

3. 礼尚往来与商业贿赂的界限

   • 合法情形：送礼价值较低（如节日礼品、纪念品），且无谋取不正当利益的目的，属于正常商业往来。
   • 违法情形：送礼价值较高（如现金、贵重物品），或附带明确利益诉求（如“事成后重谢”），则可能构成犯罪。

三、法律建议

1. 对公司：

   • 完善内部合规制度，明确禁止商业贿赂行为。
   • 对员工进行反贿赂培训，保留培训记录。
   • 定期审计财务支出，防范虚报费用。

2. 对员工：

   • 拒绝参与任何形式的行贿行为，保留书面拒绝记录。
   • 若被迫行贿，及时向公司合规部门或司法机关举报。
   • 保留与行贿相关的证据（如聊天记录、邮件、报销凭证等），以备自证清白。

3. 若已涉嫌犯罪：

   • 立即停止行为，并咨询专业律师评估风险。
   • 配合调查时，谨慎陈述事实，避免自证其罪。
   • 争取自首、立功等从宽情节，降低法律后果。

四、典型案例参考

• 案例1：某公司为中标政府项目，授意员工向招标方负责人送礼10万元。法院认定公司构成单位行贿罪，对单位罚款50万元，对总经理判处有期徒刑2年。
• 案例2：某销售员为完成业绩，自行向客户送礼5万元并虚报费用。法院认定销售员构成行贿罪，判处有期徒刑1年，公司因未参与且不知情不承担责任。

总结：公司出钱员工送客户礼品是否构成行贿罪，需结合行贿对象、利益性质、财物价值及公司意志等因素综合判断。建议企业和员工严格遵守反贿赂法律，避免法律风险。如有具体案件或疑问，可直接向我咨询。