结论：在您描述的情况下，如果未付费获得的化妆品导致您用量过大进而造成皮肤屏障受损、发红发烫，提供化妆品的一方是否承担责任，主要取决于其是否存在过错以及过错与损害结果之间的因果关系。以下从几个角度进行详细分析：
产品责任角度：
- 产品缺陷：如果化妆品本身存在缺陷（如成分超标、含有有害物质等），即使您是免费获得，提供者也可能因产品缺陷导致您受损而承担责任。根据《中华人民共和国民法典》中关于产品责任的规定，因产品存在缺陷造成他人损害的，被侵权人可以向产品的生产者请求赔偿，也可以向产品的销售者请求赔偿。在此情况下，若能证明化妆品存在缺陷，且该缺陷是导致您皮肤受损的直接原因，提供者（无论是生产者还是销售者）应承担相应的赔偿责任。
- 警示义务：提供者有义务对产品的正确使用方法、可能存在的风险等进行充分警示。如果提供者未履行这一义务，导致您因不当使用而受损，提供者也可能需承担一定责任。
过错责任角度：
- 故意或过失：如果提供者明知化妆品存在问题（如过期、变质等），却仍然提供给您使用，或者未尽到合理的注意义务（如未告知使用风险、未提供正确的使用指导等），导致您受损，提供者可能因存在故意或过失而承担责任。
- 因果关系：要确定提供者是否承担责任，还需证明其过错与您的损害结果之间存在因果关系。即，您的皮肤受损是由于使用了提供者提供的化妆品，且该化妆品的使用是导致受损的直接或主要原因。
特殊情况考虑：
- 免费与有偿的区别：虽然化妆品是免费获得的，但这并不意味着提供者可以完全免除责任。在产品责任和过错责任框架下，免费提供并不构成免责事由。然而，在实际操作中，免费获得的产品可能使得您在证明提供者过错和因果关系时面临更多困难。
- 个人使用习惯：如果您的皮肤受损部分是由于个人使用习惯（如过量使用、未按照说明使用等）导致，这可能影响提供者责任的承担。在这种情况下，需要综合分析个人使用习惯与提供者过错之间的作用力大小，以确定各自的责任比例。
建议：
- 收集证据：首先，您应尽可能收集与事件相关的证据，包括化妆品的包装、说明书、使用前后的照片或视频、医疗记录等，以证明化妆品的使用与您的皮肤受损之间存在因果关系。
- 咨询专业意见：建议您咨询皮肤科医生，了解皮肤受损的具体原因和可能的治疗方案，同时咨询律师，评估您的法律权益和可能的赔偿途径。
- 协商或诉讼：根据证据收集和专业意见，您可以尝试与提供者协商解决，如果协商无果，可以考虑通过法律途径维护自己的权益。
如果您有进一步的法律问题或需要更具体的法律建议，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律分析和建议。