结论：对方起诉要求您砍掉栽种了20多年的大树，这一诉求能否得到支持，取决于多个因素，包括大树是否对对方房屋构成实际威胁或损害、当地的相关法律规定以及具体案情等。以下从不同角度为您详细分析：
一、从相邻权角度分析
相邻权的基本原则：
- 根据《中华人民共和国民法典》中关于相邻关系的规定，不动产的相邻权利人应当按照有利生产、方便生活、团结互助、公平合理的原则，正确处理相邻关系。
- 如果您的大树对相邻方（即起诉方）的房屋造成了实际损害或存在潜在威胁，如树枝伸入对方房屋、根系破坏对方房屋地基等，那么对方有权要求您采取措施消除影响。
大树是否构成威胁或损害：
- 这需要具体评估大树的生长状况、与对方房屋的距离、是否对对方房屋的结构安全或正常使用造成影响等因素。
- 如果评估结果显示大树确实对对方房屋构成了威胁或损害，那么对方的要求可能得到法院的支持。
可能的法律后果：
- 如果法院认定您的大树对对方房屋构成了威胁或损害，可能会判决您砍掉大树或采取其他补救措施，如修剪树枝、加固对方房屋等。
- 同时，您可能需要承担因大树造成的对方房屋损失或修复费用。
二、从物权保护角度分析
物权的基本原则：
- 根据《中华人民共和国民法典》中关于物权的规定，物权是权利人依法对特定的物享有直接支配和排他的权利。
- 您作为大树的所有权人，有权依法占有、使用、收益和处分该大树。
物权行使的限制：
- 物权的行使不得违反法律、行政法规的强制性规定，不得损害国家利益、社会公共利益或他人合法权益。
- 如果您的大树确实对对方房屋造成了损害或威胁，那么您的物权行使就受到了限制，需要采取措施消除影响。
可能的法律救济：
- 如果您认为对方的要求不合理或无法证明大树对对方房屋造成了损害或威胁，您可以在诉讼中提出抗辩，并提供相关证据支持您的观点。
- 如果法院最终判决您砍掉大树或采取其他补救措施，但您认为该判决不公正或存在错误，您可以在法定期限内提起上诉或申请再审。
三、从实际操作角度分析
协商解决：
- 在诉讼之前或诉讼过程中，您可以尝试与对方进行协商，寻求双方都能接受的解决方案，如修剪树枝、加固对方房屋等。
- 协商解决可以节省时间和成本，避免不必要的法律纠纷。
评估与鉴定：
- 如果双方对大树是否构成威胁或损害存在争议，可以共同委托专业机构进行评估或鉴定。
- 评估或鉴定结果可以作为法院判决的依据之一。
法律程序：
- 如果协商无果或对方坚持起诉，您需要积极应对法律程序，包括提交答辩状、参加庭审等。
- 在法律程序中，您需要充分陈述自己的观点和理由，并提供相关证据支持您的主张。
建议：面对此类纠纷，我建议您首先与对方进行友好协商，寻求双方都能接受的解决方案。如果协商无果或对方坚持起诉，您可以咨询专业律师（即我本人）的意见，并积极准备相关证据和材料以应对法律程序。同时，您也可以考虑委托专业机构对大树是否构成威胁或损害进行评估或鉴定，以便为法院判决提供有力依据。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。