事故发生23天后，您可以通过以下方式合理催促交警出具责任认定书：
了解法定时限，明确催促依据
根据《道路交通事故处理程序规定》第六十二条，交警部门应在现场调查之日起10日内制作道路交通事故责任认定书；若需检验、鉴定（如车辆性能、酒精检测等），应在检验报告、鉴定意见确定之日起5日内制作认定书。
若事故未涉及复杂鉴定（如仅需现场勘查、询问当事人），23天已远超法定时限，您有权催促交警部门加快流程；若涉及鉴定，需确认鉴定报告是否已出具（可向交警部门或鉴定机构查询），若鉴定已完成仍未出认定书，同样可催促。
优先通过书面形式催促，保留证据
建议通过书面催告函（如邮件、挂号信）或直接到交警部门提交书面申请，明确要求交警部门在法定期限内出具责任认定书，并保留催告的书面凭证（如邮件截图、回执等）。
书面催告的优势在于：
联系办案交警或上级部门，了解进展
可直接联系负责该事故的交警（通过事故处理通知书上的联系方式），询问责任认定书的制作进度、是否涉及鉴定及鉴定结果是否已出具。
若交警以“需进一步调查”等理由拖延，可要求其说明具体原因及预计完成时间，并记录沟通内容（如录音、书面记录）。
若直接沟通无果，可向交警部门的上级公安机关交通管理部门（如市公安局交通管理局）投诉，要求其监督下级部门依法履职。
若超期未出，可申请行政复议或提起行政诉讼
若交警部门在法定期限内仍未出具责任认定书，且无合理理由，您可向上级公安机关交通管理部门申请行政复议，要求其责令交警部门限期出具；
或直接向法院提起行政诉讼，请求法院确认交警部门未依法履职的行为违法，并判令其出具责任认定书。
注意：行政复议或诉讼是最后手段，建议优先通过沟通、催告解决。
总结建议：
先确认事故是否涉及鉴定及鉴定是否已完成（若未完成，需等待鉴定结果）；若已超期且无合理理由，优先通过书面催告+联系办案交警的方式催促；若仍无进展，再考虑向上级部门投诉或申请行政复议/诉讼。