结论：公司换抬头（即变更公司名称或主体）本身并不直接赋予公司不续签老员工的合法权利，是否可以不续签需根据具体情况判断，主要涉及劳动合同的履行与变更、经济补偿等法律问题。以下分情况说明：
1. 公司主体变更但劳动合同继续履行
- 法律原则：根据《劳动合同法》第三十四条，用人单位发生合并、分立等情形的，原劳动合同继续有效，劳动合同由承继其权利和义务的用人单位继续履行。
- 适用场景：若公司仅变更名称、法定代表人或股东（即主体变更但未影响劳动合同的实际履行），新公司需继续履行原劳动合同，无权单方面不续签。
- 例外：若劳动合同中明确约定“公司主体变更可终止合同”，且该条款不违反法律强制性规定，可能被认定为有效，但此类条款在实践中较少见且需严格审查。
2. 公司以“客观情况重大变化”为由不续签
- 法律依据：根据《劳动合同法》第四十条第三项，劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，且用人单位与劳动者协商未能就变更劳动合同内容达成协议的，用人单位可提前三十日书面通知后解除合同，并支付经济补偿。
- 适用条件：
- 客观情况重大变化：需为非主观因素导致的重大变化（如政策调整、市场环境剧变等），公司主体变更本身通常不被直接认定为“客观情况重大变化”。
- 协商程序：公司需与员工协商变更劳动合同（如调整岗位、薪资等），若协商未果方可解除合同。
- 经济补偿：若公司以此为由解除合同，需支付经济补偿（按工作年限，每满一年支付一个月工资）。
3. 公司违法不续签的法律后果
- 违法解除：若公司无合法理由单方面不续签（如未履行协商程序或虚构“客观情况重大变化”），可能构成违法解除劳动合同。
- 法律责任：员工可要求公司继续履行合同或支付赔偿金（经济补偿标准的二倍）。
建议与风险提示
- 对员工：
- 核实公司不续签的合法性，要求公司出具书面说明及依据。
- 若公司违法解除，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，主张继续履行合同或赔偿金。
- 对公司：
- 避免以主体变更为由直接终止合同，需严格遵循法定程序（如协商、支付经济补偿）。
- 建议在变更主体前与员工签订补充协议，明确权利义务承继问题，降低法律风险。
总结：公司换抬头不必然导致劳动合同终止，是否可以不续签需结合具体情形判断。若您遇到此类问题，可进一步提供细节（如合同条款、公司变更原因等），我将为您分析具体法律风险及应对方案。