判决书下来了，在满足一定条件和遵循法定程序的前提下，当事人是可以要求再审的。以下是对这一问题的详细解答：

一、再审的法律依据与定义

根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，再审是为纠正已经发生法律效力的错误判决、裁定，依照审判监督程序对案件重新进行的审理。这意味着，如果当事人认为已经生效的判决书存在错误，他们有权向上一级人民法院申请再审，对于当事人一方人数众多或者当事人双方都是公民的案件，也可以向原审人民法院申请再审。

二、再审的条件

申请再审并非无条件，而是需要满足以下条件之一：

1. 有新的证据：足以推翻原判决、裁定的新证据。
2. 原判决、裁定认定事实的主要证据不足或存在伪造、未经质证等情况：这包括主要证据是伪造的、未经质证，或者主要证据不足等情形。
3. 原判决、裁定适用法律确有错误：即原判决、裁定在法律适用上存在明显错误。
4. 审判组织的组成不合法或者依法应当回避的审判人员没有回避：这涉及审判组织的合法性和审判人员的回避问题。
5. 无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼或者应当参加诉讼的当事人，因不能归责于本人或者其诉讼代理人的事由，未参加诉讼：这保护了无诉讼行为能力人和应当参加诉讼的当事人的权益。
6. 违反法律规定，剥夺当事人辩论权利：辩论权利是当事人的基本诉讼权利，不得被剥夺。
7. 未经传票传唤，缺席判决：这违反了诉讼程序的基本要求。
8. 据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或者变更：如果原判决、裁定所依据的法律文书被撤销或变更，那么原判决、裁定也可能需要被重新审视。
9. 审判人员审理该案件时有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为：这是严重的司法腐败行为，必须得到纠正。

三、申请再审的期限

当事人申请再审应当在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出。但存在特定情形时，如发现新的证据、原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的、据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或者变更、审判人员审理该案件时有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为等，自知道或者应当知道之日起六个月内提出。

四、再审程序与注意事项

1. 不停止执行：当事人申请再审的，原则上不停止判决、裁定的执行。这意味着，即使当事人提出了再审申请，原判决、裁定仍然需要被执行，除非法院另有裁定。
2. 提交材料：申请再审时，需提交再审申请书等材料，详细列举请求再审的事实和理由，并提供相关证据。这是申请再审的基本要求，也是法院审查再审申请的重要依据。
3. 法院审核：法院会对再审申请进行审查，符合法定条件的，才会裁定进入再审程序。这意味着，并非所有的再审申请都会被受理，只有那些符合法定条件的申请才会得到法院的进一步审理。
4. 特殊情形：各级人民法院院长对本院已经发生法律效力的判决、裁定、调解书，发现确有错误，认为需要再审的，应提交审判委员会讨论决定。最高人民法院对地方各级人民法院及上级人民法院对下级人民法院已生效的判决、裁定、调解书，发现确有错误的，有权提审或指令下级人民法院再审。这是法院内部对再审申请的一种监督机制。

五、刑事诉讼与行政诉讼中的再审

• 刑事诉讼：在刑事诉讼中，当事人及其法定代理人、近亲属对已生效的判决、裁定，可向人民法院或人民检察院提出申诉，但不能停止判决、裁定的执行。申诉符合法定情形的，人民法院应重新审判。
• 行政诉讼：在行政诉讼中，当事人对已生效的判决、裁定认为有错误的，可向上一级人民法院申请再审，但判决、裁定不停止执行。人民法院院长及上级人民法院对下级人民法院已生效的判决、裁定，发现违反法律法规规定的，有权提审或指令下级人民法院再审。

总结与建议：

判决书下来后，如果当事人认为存在错误，他们有权在满足一定条件和遵循法定程序的前提下要求再审。然而，再审并非易事，需要满足严格的条件并遵循复杂的程序。因此，在提出再审申请前，当事人应仔细评估自己的案件是否符合再审条件，并准备好充分的证据和理由。如果对此有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。