在刑事案件中，执行人（通常指被执行刑罚的罪犯）的存款处理方式主要取决于案件的具体阶段和法律程序，以下是详细说明：

1. 侦查阶段
   在案件侦查阶段，若公安机关认为犯罪嫌疑人的存款与案件有关（如赃款、违法所得等），可依据《刑事诉讼法》第144条申请冻结存款。冻结期限一般为6个月，特殊情况可延长。此时存款处于司法控制状态，犯罪嫌疑人及其家属无法自由支取。

2. 审判阶段
   若案件进入审判阶段，法院会根据证据认定存款性质：

   • 认定为赃款或违法所得：法院会判决追缴存款，直接上缴国库或返还被害人（如诈骗案中返还受害人）。
     
   • 认定为个人合法财产：存款不会被追缴，但若罪犯被判处罚金或没收财产，法院可能强制执行该存款以履行刑罚。例如，罪犯被判罚金10万元，其存款中的10万元将被划扣至法院账户。

3. 执行阶段
   判决生效后，若罪犯未主动履行罚金或没收财产义务，法院会启动强制执行程序：

   • 法院向银行发送《协助执行通知书》，要求划扣存款至法院指定账户。
     
   • 若存款不足，法院可能查封、拍卖罪犯其他财产（如房产、车辆）以补足差额。
     
   • 罪犯家属若对存款性质有异议（如主张部分存款为合法共有财产），可向法院提出执行异议，需提供证据证明（如存款来源证明、家庭支出记录等）。

特殊情形说明：

• 存款涉及第三方权益：若存款中有部分属于罪犯家属的合法财产（如夫妻共同财产中家属的份额），法院会保留其份额，仅执行罪犯个人部分。
  
• 罪犯死亡：若罪犯在执行前死亡，法院会终止执行，但若存款被认定为违法所得，仍会追缴；若为合法财产，则按《继承法》处理，但需先扣除罪犯应履行的罚金或赔偿。

建议：
若您或家属涉及此类情况，建议：

1. 保留存款来源证明（如工资单、借款合同等），以备主张合法财产时使用；
   
2. 若对冻结或执行有异议，及时向法院提交书面异议申请；
   
3. 配合司法程序，避免因抗拒执行导致更严重的法律后果（如罚款、拘留）。
   

如有具体案件细节需要进一步分析，可直接向我咨询。