结论：您儿子因涉嫌诈骗被刑事拘留一个月后，父亲作为近亲属可以申请取保候审，这是法律赋予犯罪嫌疑人或被告人及其法定代理人、近亲属的一项权利，旨在保障犯罪嫌疑人的合法权益，同时确保刑事诉讼的顺利进行。

详细解释与流程：

1. 取保候审的基本概念：

   • 取保候审是刑事诉讼中的一项重要制度，它允许犯罪嫌疑人或被告人在不被羁押的情况下，等待审判或进一步调查。这通常要求被取保候审人提出保证人或交纳保证金，以确保其不会逃避诉讼或重新犯罪。

2. 申请取保候审的主体：

   • 根据法律规定，犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属（如父母、配偶、子女等）都有权提出取保候审的申请。在您的情况下，父亲作为儿子的近亲属，完全有权提出这一申请。

3. 申请取保候审的条件：

   • 申请取保候审需要满足一定的条件，如犯罪嫌疑人可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的；患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；以及羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的等。在您儿子涉嫌诈骗的情况下，是否符合这些条件需要由公安机关或检察院根据案件具体情况进行判断。

4. 申请取保候审的流程：

   • 父亲需要准备相关的申请材料，包括案件基本情况、申请理由等，并向公安机关或检察院提交取保候审的申请。
   • 公安机关或检察院在收到申请后，会依法审查是否符合取保候审的条件，并作出决定。
   • 如果决定取保候审，会通知被取保候审人（即您儿子）及其保证人（如父亲或其他符合条件的人），并告知其义务和责任。
   • 执行机关（通常是居住地的公安机关）会在收到法律文书后24小时内开始执行取保候审，并告知被取保候审人其必须遵守的规定。

5. 取保候审期间的义务与责任：

   • 被取保候审人必须遵守刑事诉讼法的相关规定，如未经执行机关批准不得离开所居住的市、县；住址、工作单位和联系方式发生变动的，在24小时以内向执行机关报告；在传讯的时候及时到案；不得以任何形式干扰证人作证；不得毁灭、伪造证据或者串供等。
   • 如果违反这些规定或在取保候审期间重新犯罪，可能会导致保证金被没收、取保候审被撤销，甚至面临更严重的法律后果。

6. 可能的结果与后续行动：

   • 如果取保候审申请被批准，您儿子将在不被羁押的情况下等待审判或进一步调查。这期间，他需要严格遵守取保候审的规定，并积极配合司法机关的工作。
   • 如果取保候审申请被拒绝，您儿子将继续被羁押在看守所，直到案件进一步审理或判决。在这种情况下，您可以考虑咨询专业律师，了解是否有其他法律途径可以争取您儿子的合法权益。

建议：

• 在申请取保候审前，建议父亲先咨询专业律师（当然，您可以直接向我咨询），了解案件的具体情况和取保候审的可行性。
• 准备充分的申请材料，包括案件基本情况、申请理由、保证人的情况等，以增加取保候审申请的成功率。
• 在取保候审期间，确保您儿子严格遵守相关规定，避免任何可能违反规定的行为。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。