结论：司机不能因公司使用私户吊车委托吊装公司经营而免除与公司签订劳动合同的责任。无论吊车的所有权归属如何，只要司机与公司之间存在事实上的劳动关系，公司就有义务与司机签订书面劳动合同。
分析说明：
劳动关系的认定：
- 劳动关系的认定并不完全取决于吊车的所有权归属，而是基于司机与公司之间是否存在事实上的劳动关系。这包括司机是否接受公司的管理、指挥和监督，是否从事公司安排的有报酬的劳动，以及司机提供的劳动是否是公司业务的组成部分等因素。
- 在本案例中，如果司机受公司雇佣，按照公司的指示和安排进行吊装作业，并从公司处获得报酬，那么司机与公司之间就存在事实上的劳动关系。
劳动合同的签订义务：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当订立书面劳动合同。这是公司的法定义务，也是保障劳动者权益的重要措施。
- 无论吊车是公司自有还是委托吊装公司经营，都不影响公司与司机之间劳动关系的认定和劳动合同的签订义务。公司不能以吊车所有权归属为由拒绝与司机签订劳动合同。
不签订劳动合同的法律后果：
- 如果公司未与司机签订书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，公司可能需要承担支付双倍工资、补签劳动合同等法律责任。
- 此外，不签订劳动合同还可能影响司机的权益保障，如无法享受社会保险、工伤保险等福利待遇，以及在发生劳动争议时难以维护自己的合法权益。
建议与行动：
- 对于司机：如果公司未与你签订劳动合同，你可以与公司沟通协商，要求公司尽快签订书面劳动合同。如果公司拒绝或拖延签订，你可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
- 对于公司：作为用人单位，公司应当严格遵守《中华人民共和国劳动合同法》的规定，及时与司机签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。这不仅可以避免法律风险，还可以增强员工的归属感和忠诚度，促进公司的长期发展。
特殊场景：
- 如果司机实际上是吊装公司的员工，只是被派遣到使用私户吊车的公司进行作业，那么司机与吊装公司之间存在劳动关系，而与使用吊车的公司之间则不存在劳动关系。但即便如此，吊装公司也有义务与司机签订书面劳动合同。
相关法规：
- 《中华人民共和国劳动合同法》第十条：建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
- 《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
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