民事调解书进入执行环节后，若当事人双方对调解书内容有争议，法院原则上应通过执行异议程序处理，但若争议涉及调解书本身的合法性或自愿性，则可能需通过审判监督程序解决。具体分析如下：

1. 执行异议程序：针对调解书履行方式的争议
   若争议焦点在于调解书确定的履行方式、期限、标的物等具体条款的理解或执行（例如：调解书约定“分期还款”，但对“分期”的具体时间节点产生分歧），法院应依据《民事诉讼法》第232条（原第225条）处理。此时：

   • 执行法院会组织双方听证，结合调解书文义、调解笔录、当事人陈述等证据，审查争议内容是否属于调解书明确约定范围；
     
   • 若争议内容超出调解书原文（如一方主张调解时口头约定了附加条件），法院通常不予支持，因调解书经双方签字确认后具有法律效力，口头约定若无证据佐证不具约束力；
     
   • 最终通过执行裁定书明确履行方式，当事人对裁定不服的，可向上一级法院申请复议。

2. 审判监督程序：针对调解书合法性或自愿性的争议
   若争议涉及调解书是否存在“违反自愿原则”或“内容违法”的情形（例如：一方主张调解时受胁迫、调解书内容违反法律强制性规定），法院应依据《民事诉讼法》第208条启动审判监督程序。此时：

   • 当事人需提供证据证明调解非自愿或违法（如调解时录音、证人证言、调解书内容与法律冲突的条文等）；
     
   • 法院经审查若认定调解书确有错误，会裁定再审，中止原调解书的执行；
     
   • 再审期间，法院会重新审理案件事实，并作出新判决替代原调解书。

实务建议：

• 对执行方式有争议时，优先通过执行异议程序解决，效率更高；
  
• 若认为调解书本身存在问题，需在执行异议被驳回后，及时通过审判监督程序主张权利，避免超过再审申请期限（通常为调解书生效后6个月内）；
  
• 无论选择哪种程序，均需保留调解时的相关证据（如调解笔录、沟通记录等），以支持自身主张。
  

如有具体争议内容或证据材料，可进一步向我说明，我会结合细节为您分析法院可能的处理方向。