结论概述：企业市场部总监作为公司员工，其职务行为代表公司，市场部涉嫌虚假宣传时，公司需承担相应法律责任。但具体责任需根据虚假宣传的具体情况、公司内部管理情况以及市场部总监的行为性质来综合判断。以下从多个角度进行详细分析：
公司作为市场主体的责任：
- 法律责任基础：根据《中华人民共和国广告法》等相关法律法规，公司作为广告主或广告发布者，对其发布的广告内容负有审查义务，确保广告内容的真实性、合法性。若市场部涉嫌虚假宣传，即广告内容存在虚假或引人误解的成分，公司作为市场主体，需承担相应的法律责任。
- 责任形式：公司可能面临的法律责任包括但不限于行政处罚（如罚款、责令停止发布广告等）、民事赔偿（如因虚假宣传给消费者造成损失需赔偿）以及刑事责任（如虚假宣传行为构成犯罪时）。
市场部总监的职务行为与责任：
- 职务行为代表公司：市场部总监作为公司员工，其职务行为代表公司意志，市场部涉嫌虚假宣传，可视为公司行为的一部分。因此，市场部总监在职务范围内的行为，其法律后果通常由公司承担。
- 个人责任的可能性：若市场部总监在虚假宣传行为中存在故意或重大过失，如明知广告内容虚假仍予以发布，或未尽到审查义务导致虚假广告发布，则市场部总监个人也可能需承担相应的法律责任，包括但不限于行政处罚、民事赔偿以及可能的刑事责任。
公司内部管理的影响：
- 内部管理责任：公司若未建立有效的广告审查机制，或未对市场部总监等员工的职务行为进行合理监督和管理，导致虚假宣传行为发生，公司内部管理可能存在疏漏或不足，这也可能成为公司承担法律责任的一个因素。
- 责任减轻的可能性：若公司能证明已尽到合理的审查义务和管理责任，如建立了完善的广告审查流程、对市场部总监等员工进行了充分的培训和教育等，则可能在一定程度上减轻公司的法律责任。
具体案例分析：
- 案例一：若市场部总监在未经公司授权的情况下，擅自以公司名义发布虚假广告，且公司对此并不知情，则公司可能因缺乏过错而免除或减轻责任，但市场部总监个人需承担全部或主要责任。
- 案例二：若市场部总监在职务范围内发布虚假广告，且公司对此知情或应知情而未采取有效措施制止，则公司和市场部总监均可能需承担法律责任，具体责任比例需根据双方过错程度等因素综合判断。
建议与总结：
- 公司层面：建议公司建立完善的广告审查机制和管理制度，加强对市场部等部门的监督和管理，确保广告内容的真实性、合法性。同时，公司应定期对员工进行法律培训和教育，提高员工的法律意识和风险防范能力。
- 市场部总监层面：作为公司员工和市场部负责人，市场部总监应严格遵守法律法规和公司规章制度，确保职务行为的合法性和合规性。在发布广告前，应认真审查广告内容，确保广告信息的真实性和准确性。
- 总结：企业市场部总监与公司关系紧密，市场部涉嫌虚假宣传时，公司需承担相应法律责任。但具体责任需根据虚假宣传的具体情况、公司内部管理情况以及市场部总监的行为性质来综合判断。因此，公司和市场部总监均应高度重视广告内容的真实性和合法性，共同维护市场秩序和消费者权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。