结论：私生子具有继承权，是基于我国法律对于非婚生子女与婚生子女平等保护的原则。以下从法律背景、具体规定及法律后果等角度进行详细分析：

1. 法律背景与原则

   • 我国法律明确规定，非婚生子女（即私生子）与婚生子女享有同等的法律地位，包括继承权。这一原则体现了法律对所有子女的平等保护，不受父母婚姻状况的影响。

2. 具体法律规定

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条：“非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。不直接抚养非婚生子女的生父或者生母，应当负担未成年子女或者不能独立生活的成年子女的抚养费。”这一条款明确规定了非婚生子女的法律地位，包括继承权。
   • 在继承方面，非婚生子女与婚生子女一样，都是第一顺序的法定继承人。这意味着，在父母去世后，私生子有权继承其应得的遗产份额，与其他继承人（如配偶、其他子女等）共同分配遗产。

3. 法律后果与实际操作

   • 在实际操作中，如果原配与老公白手起家，共同积累了财产，这些财产在老公去世后，将作为遗产进行分配。私生子作为第一顺序的法定继承人，有权参与遗产的分配。
   • 如果原配对私生子的继承权有异议，或者认为私生子的存在影响了自己的继承份额，可以通过法律途径解决争议。例如，可以提起继承权确认之诉，要求法院确认各自的继承份额。
   • 需要注意的是，虽然私生子具有继承权，但这一权利的实现可能受到多种因素的影响，如遗产的具体情况、其他继承人的态度、法律程序等。因此，在实际操作中，建议咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。

4. 特殊情况与考虑

   • 如果老公在去世前留下了遗嘱，且遗嘱中明确排除了私生子的继承权，那么私生子可能无法继承遗产。但是，遗嘱的效力需要受到法律的审查，如果遗嘱存在违法或无效的情形（如违反公序良俗、未为缺乏劳动能力又没有生活来源的继承人保留必要的遗产份额等），私生子仍然有权继承遗产。
   • 另外，如果私生子在继承开始前已经去世，那么其继承权将转由其继承人（如私生子的子女）继承。

建议：在处理涉及私生子继承权的家庭财产纠纷时，建议各方保持冷静和理性，通过协商或法律途径解决争议。如果需要法律帮助或咨询，可以直接向我提问，我将根据具体情况提供专业的法律意见和解决方案。