美容院分期付款不开发票的行为是违法的。以下从不同角度为你详细分析：

1. 从税收征管角度：

   • 根据我国税收相关法律法规，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。美容院作为提供美容服务的经营者，在收取消费者分期付款的费用时，有义务开具发票。不开发票的行为属于未按照规定开具发票，违反了税收征管秩序，税务机关可以依据《中华人民共和国发票管理办法》等相关规定对其进行处罚，如责令改正、罚款等。

2. 从消费者权益保护角度：

   • 发票是消费者购买商品或接受服务的重要凭证，也是消费者维权的关键证据。在分期付款的情况下，如果美容院不开发票，一旦消费者在后续服务过程中遇到问题，如服务质量不达标、美容产品存在质量问题等，可能会因为缺乏有效的消费凭证而难以维护自己的合法权益。例如，在要求美容院退款、赔偿时，没有发票作为证据，消费者的诉求可能难以得到支持。

3. 从合同履行角度：

   • 分期付款本质上是一种合同关系，消费者与美容院之间形成了服务合同。开具发票是美容院在合同履行过程中的一项附随义务。虽然附随义务相对于主合同义务（如提供美容服务）来说，不是合同的核心内容，但附随义务的履行对于保障合同的顺利履行和实现合同目的具有重要意义。美容院不履行开具发票的附随义务，可能构成违约行为，消费者有权要求其履行义务或承担相应的违约责任。

建议：如果你遇到美容院分期付款不开发票的情况，可以采取以下措施：

• 与美容院协商，要求其开具发票。在协商过程中，可以明确告知其不开发票的违法性以及可能面临的法律后果。
• 如果协商无果，可以向当地税务机关举报。税务机关有权对美容院的违法行为进行调查和处理，并保护举报人的合法权益。
• 同时，要注意保留好与美容院之间的交易凭证，如付款记录、合同等，以便在后续维权过程中使用。

如果你还有其他关于消费维权或合同纠纷等方面的法律问题，欢迎随时向我咨询。