教师诽谤同事，可依据情节轻重，通过民事赔偿、行政处分或刑事追责等途径处理。具体分析如下：

1. 民事赔偿途径
   若诽谤行为导致同事名誉受损、精神痛苦或经济损失（如因诽谤被停职、降薪等），同事可依据《民法典》第1024条（名誉权保护）向法院提起民事诉讼，要求诽谤者停止侵害、赔礼道歉、消除影响，并赔偿精神损失费、误工费等实际损失。需注意：需保留证据（如聊天记录、录音、证人证言等）证明诽谤内容与损害结果的关联性。

2. 行政处分途径
   若诽谤行为发生在校园内或与工作相关，且情节较轻（如私下传播不实信息但未造成严重后果），学校可依据《事业单位工作人员处分暂行规定》或内部规章制度，对涉事教师给予警告、记过、降级、撤职等行政处分。需注意：学校需启动调查程序，听取双方陈述，确保处分决定程序合法。

3. 刑事追责途径
   若诽谤行为情节严重（如捏造事实并公开传播，导致同事社会评价显著降低，或造成自杀、精神失常等严重后果），可能构成《刑法》第246条规定的“诽谤罪”。此时，同事可向公安机关报案，由检察院提起公诉或自行向法院提起刑事自诉。需注意：刑事立案需达到“情节严重”标准，如点击量、转发量达到一定数量，或造成恶劣社会影响。

建议行动步骤：

1. 同事应第一时间固定证据（如截图、录音、保存原始载体）；
   
2. 向学校反映情况，要求启动调查并出具书面处理意见；
   
3. 若损失较大或行为恶劣，可同步委托律师发送律师函或直接起诉；
   
4. 若涉及刑事犯罪，立即报警并配合调查。
   

温馨提示：教师作为公职人员，诽谤行为可能同时违反《教师法》第37条（“品行不良、侮辱学生，影响恶劣的”可给予行政处分），需结合具体情节综合判断责任。如有进一步细节需要分析，可直接向我提问。