关于员工何时可以请病假以及何时可以享受医疗期的问题，以下是根据相关法律法规的详细解答：

一、员工何时可以请病假

员工在患病或非因工负伤，且需要停止工作进行医疗时，可以向单位申请病假。病假是员工因健康原因无法正常工作，而暂时离开工作岗位进行休息和治疗的时间。在病假期间，员工应提供医疗机构出具的有效证明，如病假条或诊断证明等，以证明其确实需要休息和治疗。

二、员工何时可以享受医疗期

医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息，而单位不得解除劳动合同的时限。医疗期的具体长度根据员工的实际工作年限和在本单位的工作年限来确定，具体规定如下：

1. 实际工作年限十年以下的：

   • 在本单位工作年限五年以下的，医疗期为三个月；
   • 在本单位工作年限五年以上的，医疗期为六个月。

2. 实际工作年限十年以上的：

   • 在本单位工作年限五年以下的，医疗期为六个月；
   • 在本单位工作年限五年以上十年以下的，医疗期为九个月；
   • 在本单位工作年限十年以上十五年以下的，医疗期为十二个月；
   • 在本单位工作年限十五年以上二十年以下的，医疗期为十八个月；
   • 在本单位工作年限二十年以上的，医疗期为二十四个月。

三、医疗期的计算方式

医疗期的计算并非连续计算，而是按照一定期间内累计病休时间来计算。具体来说：

• 医疗期三个月的，按六个月内累计病休时间计算；
• 医疗期六个月的，按十二个月内累计病休时间计算；
• 以此类推，医疗期最长二十四个月的，按三十个月内累计病休时间计算。

四、医疗期内的待遇

在医疗期内，员工享有病假工资、疾病救济费和医疗待遇等合法权益。具体待遇标准按照国家和地方的相关规定执行，通常包括基本工资的一定比例、医疗费用的报销等。

五、医疗期满后的处理

医疗期满后，如果员工尚未痊愈，且经劳动鉴定委员会鉴定为丧失或部分丧失劳动能力，单位应根据具体情况安排员工从事力所能及的工作，或者按照国家有关规定办理退休、退职手续。如果员工医疗期满后仍不能从事原工作，也不能从事单位另行安排的工作，单位可以依法解除劳动合同，但应按照相关规定支付经济补偿。

综上所述，员工在患病或非因工负伤需要停止工作进行医疗时，可以申请病假并享受相应的医疗期待遇。医疗期的具体长度和计算方式根据员工的实际工作年限和在本单位的工作年限来确定。在医疗期内，员工享有病假工资、疾病救济费和医疗待遇等合法权益。医疗期满后，单位应根据员工的实际情况进行妥善处理。