您好，关于您提出的“取得居住权后私下签订补充协议是否有效”的问题，这主要取决于补充协议的内容、签订方式以及是否符合相关法律法规的规定。以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，居住权通常是通过合同或协议来设立的，这些合同或协议在符合法律法规的前提下，是具有法律效力的。当您已经取得居住权后，如果与房屋所有权人或其他相关方私下签订补充协议，该协议的有效性主要取决于以下几个方面：
协议内容合法性：补充协议的内容必须合法，不得违反法律法规的强制性规定，也不得违背公序良俗。例如，协议中不能约定非法占有、使用房屋或侵犯他人合法权益的内容。
双方真实意思表示：补充协议必须是双方真实意思的表示，不存在欺诈、胁迫等情形。如果一方在签订协议时存在重大误解或显失公平的情况，该协议可能被视为无效或可撤销。
协议形式要求：虽然私下签订的补充协议不一定需要采用书面形式，但为了确保协议的明确性和可证明性，建议采用书面形式，并由双方签字或盖章确认。此外，如果原居住权合同中有特别约定，如禁止通过其他方式对合同进行变更或补充，那么私下签订的补充协议可能无效。
不损害第三方利益：补充协议的签订不得损害第三方的合法权益。例如，如果房屋存在其他共有人或抵押权人，补充协议的内容不得侵犯他们的权益。
符合原合同约定：如果原居住权合同中有关于补充协议或变更合同的特别约定，如需要经过特定程序或获得特定同意才能签订补充协议，那么私下签订的补充协议必须符合这些约定才能生效。
举例说明：
假设您与房屋所有权人签订了一份居住权合同，合同中明确规定了居住权的期限、条件等。后来，双方经过协商，私下签订了一份补充协议，延长了居住权的期限并增加了一些居住条件。如果这份补充协议的内容合法、双方真实意思表示、采用书面形式并签字确认、不损害第三方利益，且符合原合同的约定（如没有禁止通过其他方式变更合同的条款），那么这份补充协议就是有效的。
建议：
在签订补充协议前，务必仔细阅读原居住权合同，了解其中关于补充协议或变更合同的特别约定。
确保补充协议的内容合法、明确，并符合双方的真实意愿。
如果可能的话，采用书面形式签订补充协议，并由双方签字或盖章确认。
在签订补充协议后，妥善保管好相关证据，以备不时之需。
总之，取得居住权后私下签订补充协议的有效性取决于多个因素。为了确保您的权益得到保障，建议在签订补充协议前咨询专业律师或法律机构的意见。