结论：超过六十岁且没有劳动合同的情况下，能否申请劳动仲裁主要取决于您是否享受养老保险待遇或领取退休金，以及您与用人单位之间的实际用工关系。
一、可能构成劳动关系的情况
未享受养老保险待遇或领取退休金：
- 法律规定：根据《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第三十二条，若您虽已超过六十岁，但并未依法享受养老保险待遇或领取退休金，且继续在原单位工作，那么您与用人单位之间的关系可能仍被视为劳动关系。
- 处理方式：在这种情况下，如果双方没有签订劳动合同并产生争议（如拖欠工资、未签劳动合同等），您有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
特定情况下的劳动关系保留：
- 条件：对于停薪留职、内退、下岗待岗及企业停产放长假等特定情况的人员，即便达到法定退休年龄，与新用人单位之间的争议仍可能按劳动关系处理。
- 处理方式：若您属于这些特定情况之一，且与新用人单位之间发生争议，同样可以申请劳动仲裁。
二、构成劳务关系的情况
已享受养老保险待遇或领取退休金：
- 法律规定：根据《劳动合同法》第四十四条，劳动者开始依法享受基本养老保险待遇时，劳动合同即终止。此时，您与用人单位之间的关系转变为劳务关系。
- 处理方式：在劳务关系中，双方的权利义务由民法调整。若发生纠纷，您不能通过劳动仲裁解决，而应通过民事诉讼等途径维护自身权益。
实际用工关系为劳务关系：
- 条件：即使您未超过六十岁，但如果与用人单位之间的实际用工关系更符合劳务关系的特征（如工作性质临时性、工作内容非核心业务等），那么双方之间的关系也可能被认定为劳务关系。
- 处理方式：在这种情况下，若发生纠纷，您同样需要通过民事诉讼等途径解决。
三、建议与总结
- 明确用工关系：首先，您需要明确自己与用人单位之间的实际用工关系是劳动关系还是劳务关系。这通常需要根据您的年龄、是否享受养老保险待遇、工作内容、管理方式等因素进行综合判断。
- 保留证据：无论哪种情况，保留好相关证据都是维权的关键。这些证据可能包括工资条、工作证、考勤记录、与用人单位的沟通记录等。
- 寻求法律帮助：如果您对用工关系或维权途径存在疑问，可以直接向我咨询。我会根据您的具体情况，结合相关法律法规，为您提供针对性的法律建议和解决方案。