结论：在终审司法救助鉴定中，若确定某成年人为无民事行为能力的精神病患者，其仍有权追索父亲应支付的抚养费，但具体追索方式和可行性需根据实际情况判断。

分析说明：

1. 法律义务与权利：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。这一义务在子女成年且具备独立生活能力时终止。然而，若子女因精神病等特殊原因无法独立生活，父母仍需承担抚养责任。
   • 在本案例中，尽管子女已成年，但因被鉴定为无民事行为能力的精神病患者，无法独立生活，因此其父亲仍需承担抚养义务，包括支付抚养费。

2. 追索抚养费的途径：

   • 协商：首先，可以尝试与父亲进行协商，达成抚养费支付的协议。这种方式相对温和，有助于维护家庭关系。
   • 诉讼：若协商无果，可以向人民法院提起诉讼，要求父亲支付抚养费。在诉讼过程中，需要提供充分的证据证明子女的无民事行为能力状态以及父亲未履行抚养义务的事实。
   • 申请司法救助：若因经济困难等原因无法承担诉讼费用，可以向人民法院申请司法救助，以获得法律援助或减免诉讼费用。

3. 实际操作中的考虑因素：

   • 证据收集：在追索抚养费的过程中，证据的收集至关重要。需要提供医疗鉴定报告、生活状况证明等材料，以证明子女的无民事行为能力状态以及父亲未履行抚养义务的事实。
   • 父亲的经济状况：法院在判决抚养费时，会考虑父亲的经济状况。若父亲经济困难，法院可能会酌情减少抚养费的数额。
   • 子女的实际需求：抚养费的数额应根据子女的实际需求来确定，包括生活费、医疗费、教育费等。

特殊场景：

• 若父亲已经去世或丧失经济能力，追索抚养费可能会面临困难。在这种情况下，可以考虑寻求其他亲属的帮助或申请社会救助。

行动建议：

• 收集证据：首先，收集医疗鉴定报告、生活状况证明等材料，以证明子女的无民事行为能力状态。
• 协商尝试：尝试与父亲进行协商，达成抚养费支付的协议。
• 提起诉讼：若协商无果，可以向人民法院提起诉讼，要求父亲支付抚养费。
• 申请司法救助：若因经济困难等原因无法承担诉讼费用，可以向人民法院申请司法救助。

在处理此类问题时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。