关于机关单位合同制能否转编制的问题，这并非一个一概而论的情况，而是需要根据具体的政策、地区以及单位性质来综合判断。不过，我可以根据一些公开的信息和常见的做法，给您一个较为详细的解答。
首先，我们要明确的是，合同制员工与编制内员工在身份、待遇以及职业发展上通常存在差异。合同制员工一般是通过签订劳动合同的方式与单位建立劳动关系，而编制内员工则通常享有更为稳定的工作保障和更好的福利待遇。
关于合同制转编制的可能性：
特定政策或考试机会：
- 在某些地区或单位，为了吸引和留住人才，或者为了解决特定岗位的人才短缺问题，可能会出台相关政策或组织专项考试，允许合同制员工通过考试或考核的方式转为编制内员工。例如，您提到的福建省教育局就曾发布过编外合同制教师转编内的专项招聘考试通知，这就是一个典型的例子。
单位内部调整或改革：
- 在单位进行内部调整或改革时，也可能会根据工作需要和员工表现，将部分合同制员工转为编制内。这通常需要单位有一定的编制空缺，并且员工符合转编的条件和要求。
个人表现与职业发展：
- 合同制员工在工作中表现出色，为单位做出了显著贡献，或者通过自身的努力获得了更高的学历、职称等，也可能增加其转为编制内员工的机会。
关于转编制的具体条件和程序：
- 由于转编制涉及单位的人事管理和编制使用，因此具体的条件和程序通常由单位或上级主管部门制定。这可能包括年龄、学历、工作年限、职称、工作表现等多个方面的要求。
- 一般来说，转编制需要经过单位内部的考核或评审，并可能需要经过上级主管部门的批准。因此，合同制员工如果希望转为编制内，需要密切关注单位的相关政策动态，并积极准备和参与相关的考核或评审。
建议：
- 如果您是机关单位的合同制员工，并且希望转为编制内，建议您首先了解单位的相关政策规定和转编条件。
- 积极提升自己的专业能力和工作表现，为转编做好充分的准备。
- 关注单位或上级主管部门发布的转编信息或考试通知，及时报名并参加相关的考核或评审。
总的来说，机关单位合同制能否转编制并没有一个固定的答案，而是需要根据具体情况来判断。但无论如何，提升自己的专业能力和工作表现都是增加转编机会的重要途径。希望这个解答能对您有所帮助。