结论概述：
- 私生子有权继承遗产，这是基于法律对非婚生子女的平等保护原则。
- 出轨方一般不能直接要求第三者承担法律责任，除非存在特定情形，如第三者侵犯了出轨方的配偶权或造成其他损害。
详细分析：
一、私生子继承遗产的权利
根据我国《民法典》的相关规定，非婚生子女（即私生子）与婚生子女享有同等的法律地位，包括继承权。这意味着，无论子女是否在婚姻关系存续期间出生，他们都有权继承父母的遗产。这一规定体现了法律对非婚生子女的平等保护原则，确保他们不会因为出生时的婚姻状况而受到不公平的待遇。
二、出轨方要求第三者承担法律责任的可能性
一般情况：
- 出轨行为本身，虽然违背了婚姻的忠诚义务，但并不直接构成法律上的侵权行为。因此，出轨方一般不能直接要求第三者承担法律责任，如赔偿精神损失等。
特定情形：
- 侵犯配偶权：如果第三者的行为不仅限于与出轨方的婚外情，还涉及对出轨方配偶的公开侮辱、诽谤或侵犯其名誉权等，那么出轨方的配偶有权要求第三者承担相应的法律责任。但这种情况下的原告是出轨方的配偶，而非出轨方本人。
- 造成其他损害：如果第三者的行为导致了出轨方或其家庭成员的人身伤害、财产损失等，出轨方或其家庭成员有权根据具体情况要求第三者承担民事赔偿责任。然而，这同样需要具体证据支持，并且原告是受损方，而非单纯基于出轨行为。
三、法律建议
对于私生子继承问题：
- 如果私生子希望继承遗产，应确保其身份得到法律认可，如通过亲子鉴定等方式确认亲子关系。
- 在遗产分配过程中，私生子应与其他继承人平等协商，确保自己的合法权益得到保障。
对于出轨方与第三者的法律责任问题：
- 出轨方应认识到自己的行为可能对家庭造成的伤害，并尽量通过沟通、协商等方式解决问题，而不是寻求法律上的“报复”。
- 如果确实存在第三者侵犯配偶权或造成其他损害的情况，建议受损方及时收集证据，并咨询专业律师以维护自己的合法权益。
四、可能面临的法律后果
- 如果出轨方试图通过不正当手段（如诽谤、侮辱等）来“惩罚”第三者，可能会构成对第三者的侵权，从而面临法律责任。
- 如果私生子在继承过程中遇到障碍或纠纷，可以通过法律途径解决，如提起继承权诉讼等。
总结与引导：
私生子有权继承遗产，这是法律赋予他们的基本权利。而出轨方一般不能直接要求第三者承担法律责任，除非存在特定情形。在处理这类问题时，建议各方保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。如果您有任何具体的法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律帮助。