结论：母亲行政拘留六天，一般情况下不会留下传统意义上的“案底”，但会在公安机关的内部系统中留下相关记录。

详细分析：

1. 行政拘留的性质：

   • 行政拘留是公安机关对违反治安管理行为人依法在一定时间内拘禁留置于法定处所，剥夺其人身自由的一种行政处罚方法。它不属于刑事处罚，因此不会留下刑事犯罪记录，即通常所说的“案底”。

2. 行政拘留的记录情况：

   • 虽然行政拘留不会留下刑事犯罪记录，但公安机关会在其内部系统中留下相关的行政处罚记录。这些记录主要用于公安机关内部管理，以及在必要时对违法人员进行后续的管理和监督。
   • 这些记录通常不会对外公开，也不会影响个人的日常生活和工作，但在某些特定情况下，如申请某些特殊职业或出国签证时，可能需要提供无犯罪记录证明，此时行政拘留的记录可能会成为考虑因素之一（但具体还需根据相关规定和实际情况来判断）。

3. 对子女的影响：

   • 从法律角度来看，母亲被行政拘留六天并不会直接影响子女的法律地位或权益。子女不会因为母亲的这一行为而受到任何法律上的限制或歧视。
   • 然而，在实际生活中，某些特殊职业或活动（如参军、报考公务员等）可能要求申请人提供家庭成员的无犯罪记录证明。在这种情况下，虽然行政拘留不属于刑事犯罪，但可能需要向相关部门进行说明和解释。

4. 建议与注意事项：

   • 如果母亲或家庭成员对行政拘留的记录有疑虑或担忧，可以咨询当地公安机关或法律专业人士，了解具体的记录情况和可能的影响。
   • 在日常生活中，应遵守法律法规，避免违法行为的发生，以维护个人和家庭的良好形象。

后续行动建议：

• 如果您或您的家庭成员对行政拘留的记录有进一步的疑问或需要法律帮助，可以直接向我咨询。我将根据您的具体情况提供专业的法律意见和建议。