夫妻离婚后，一方不肯承担孩子抚养费是不合法的，必须履行法定抚养义务。以下从多个角度为你详细分析：

法律义务角度

根据我国《民法典》第一千零八十五条的明确规定，离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。这是法律规定的强制性义务，旨在确保子女的生活和教育得到必要的经济保障。抚养费的数额和支付期限，首先应由双方通过协商确定；若协商不成，则可诉诸人民法院进行判决。因此，无论从哪个角度看，不肯承担抚养费都是违反法律规定的。

实际操作与后果角度

1. 协商沟通：如果一方拒绝支付抚养费，首先建议双方通过友好协商解决。毕竟，离婚后双方仍应共同关注子女的成长，协商解决有助于维护良好的亲子关系。
2. 提起诉讼：若协商无果，直接抚养孩子的一方有权向法院提起诉讼，请求法院判令对方履行支付抚养费的义务。在诉讼过程中，需要提供充分的证据来证明对方未履行支付义务，如银行转账记录、收据、聊天记录等。法院在受理此类案件后，将依据事实和法律规定作出公正判决。
3. 申请强制执行：一旦判决生效，拒绝支付抚养费的一方必须履行支付义务；否则，直接抚养方可以向法院申请强制执行。强制执行的措施包括但不限于查封、冻结被申请人的银行账户、财产等，以确保抚养费的顺利执行。更为严重的是，如果长期拒不支付抚养费，且情节恶劣、造成不良影响，行为人可能会因触犯拒不执行判决、裁定罪而面临刑事处罚。

特殊情况与建议

• 子女需求变化：根据《民法典》的规定，协议或者判决不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。这意味着，如果子女的生活或教育需求发生变化，直接抚养方有权要求对方增加抚养费。
• 经济能力变化：如果支付抚养费的一方经济能力发生变化，如失业、生病等，导致无法继续支付原定数额的抚养费，应及时与直接抚养方沟通，并协商调整抚养费数额。如果协商不成，也可以向法院申请变更抚养费数额。

总结与建议：为了孩子的健康成长和自身的合法权益，建议离婚后不直接抚养子女的一方按判决或协议来履行支付抚养费的义务。如果遇到任何问题或纠纷，应及时咨询专业律师（即我本人，郑素洁律师，专注于婚姻家庭、遗产继承领域），通过合法途径解决，避免不必要的法律纠纷和麻烦。