结论概述：在老人去世且子女断绝关系的情况下，火化的责任通常应由老人的近亲属承担，若子女作为法定继承人且未丧失继承权，则应承担相应责任。若子女均拒绝承担，可由其他近亲属或相关单位介入处理。

详细分析：

1. 法定继承人的责任：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，子女是父母的法定继承人。在老人去世后，子女作为第一顺序继承人，不仅享有继承遗产的权利，也负有处理老人身后事的义务，这包括火化等事宜。
   • 若子女之间因断绝关系等原因相互推诿，不愿承担火化责任，这并不改变他们作为法定继承人的法律地位。在此情况下，子女仍应共同协商或通过法律途径解决火化等身后事的安排。

2. 其他近亲属的介入：

   • 若子女均拒绝承担火化责任，且老人无其他直系亲属或直系亲属也无法承担此责任时，可考虑由老人的兄弟姐妹、祖父母、外祖父母等近亲属介入处理。
   • 这些近亲属在法律上虽非直接继承人，但在特定情况下，如继承人无法履行义务时，可承担一定的协助或替代责任。

3. 相关单位的协助：

   • 在极端情况下，如老人无任何近亲属或近亲属均无法承担火化责任时，可寻求当地民政部门或相关社会组织的协助。
   • 这些单位通常设有专门的机构或程序来处理此类无主遗体或无法安排身后事的情况，以确保遗体得到妥善处理。

4. 法律后果与建议：

   • 若子女拒绝承担火化责任，可能面临社会舆论的谴责以及法律上的不利后果，如影响继承权的行使等。
   • 建议子女在老人去世后，应尽快协商并安排好身后事，包括火化等事宜。若无法达成一致，可寻求法律途径解决争议，如通过法院调解或判决来确定责任承担方。

特殊情况说明：

• 若子女与老人之间存在严重的矛盾或纠纷，导致子女不愿承担火化责任，这并不构成法律上的免责事由。子女仍应履行其作为法定继承人的义务，或通过法律途径解决争议。
• 在处理此类问题时，应充分考虑老人的意愿和尊严，以及社会公序良俗的要求，确保遗体得到妥善、尊重的处理。

后续行动建议：

• 若您面临此类问题，建议首先与子女进行沟通协商，尝试达成一致意见。
• 若协商无果，可寻求当地居委会、村委会或民政部门的协助调解。
• 若调解仍无法解决问题，可考虑通过法律途径解决争议，如向法院提起诉讼等。在此过程中，如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。