针对您提出的问题，即妹妹是精神病患者，哥哥是否可以凭借医院的诊断书申请成为其监护人，以下是我根据相关法律法规和实际情况给出的详细解答：
首先，要明确的是，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，无民事行为能力或者限制民事行为能力的成年人，其监护人的确定是有明确顺序和条件的。在您妹妹的情况下，如果她被认定为无民事行为能力人或限制民事行为能力人，那么监护人的确定将遵循以下顺序：
配偶：如果妹妹有配偶，且配偶有监护能力，那么配偶通常是首选监护人。
父母、子女：如果妹妹没有配偶，或者配偶没有监护能力，那么父母或子女（如果存在且具备监护能力）将成为监护人。
其他近亲属：在父母、子女也无法担任监护人的情况下，其他近亲属（如兄弟姐妹、祖父母、外祖父母等）可以按顺序担任监护人。在此情况下，哥哥作为妹妹的近亲属，是有资格申请成为监护人的。
其他愿意担任监护人的个人或者组织：如果前述顺序中的亲属都无法或不愿担任监护人，那么其他愿意担任监护人的个人或组织，在经过被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门同意后，也可以成为监护人。
关于申请流程：
医院诊断书的作用：医院诊断书是证明妹妹精神状况的重要证据，但仅凭诊断书并不足以直接确定哥哥为监护人。哥哥需要向妹妹住所地的人民法院提出申请，请求宣告妹妹为无民事行为能力人或限制民事行为能力人，并指定自己为监护人。
申请材料：除了医院诊断书外，哥哥还需要准备申请书（列明申请人与被申请人基本情况、申请事项等）、身份证明材料（如身份证、户口本等）、以及可能需要的其他证据材料（如妹妹的病历资料、生活状况证明等）。
法院审理：法院将根据哥哥提供的证据材料，以及可能进行的司法鉴定（如精神状况鉴定），来审理并决定是否宣告妹妹为无民事行为能力人或限制民事行为能力人，并指定哥哥为监护人。
总结：
哥哥作为妹妹的近亲属，在妹妹被认定为无民事行为能力人或限制民事行为能力人，且其他顺序中的监护人无法或不愿担任的情况下，是有资格申请成为监护人的。但申请过程需要遵循法定程序，提供充分的证据材料，并经过法院的审理和决定。因此，哥哥不能仅凭医院的诊断书就直接成为监护人，而需要通过法律途径来申请和确认。