结论：法人给私人签下无登记厂房抵押合同，合同本身在符合法定生效要件时是有效的，但能否执行厂房取决于是否满足法定抵押权设立条件。以下从合同效力和抵押权执行两个角度详细分析：
一、关于无登记厂房抵押合同的效力
合同生效要件：
- 根据《民法典》相关规定，抵押合同自成立时生效，除非法律另有规定或当事人另有约定。厂房抵押合同作为民事合同的一种，其生效需满足主体适格、意思表示真实、内容合法且不违背公序良俗等基本要件。
- 法人作为抵押人：若法人具备完全民事行为能力，且其法定代表人或授权代表在合同上签字或盖章，代表法人真实意思表示，则合同主体适格。
- 私人作为抵押权人：私人作为自然人，只要具备完全民事行为能力，即可成为抵押权人。
- 合同内容合法：厂房抵押合同的内容需合法，不得违反法律、行政法规的强制性规定，如不得约定流押条款（即抵押权人在债务履行期限届满前约定抵押物归抵押权人所有）。
未办理抵押登记的影响：
- 根据《民法典》第四百零二条，以建筑物和其他土地附着物抵押的，应当办理抵押登记，抵押权自登记时设立。因此，未办理抵押登记的，抵押权未设立，但这并不影响抵押合同的效力。
- 抵押合同有效，但抵押权未设立，意味着抵押权人无法直接依据抵押权对厂房进行优先受偿或执行。
二、关于能否执行厂房
抵押权未设立的情况：
- 由于未办理抵押登记，抵押权未设立，抵押权人无法直接依据抵押权请求法院执行厂房。
- 但抵押权人可以依据有效的抵押合同，要求抵押人（法人）承担违约责任，如赔偿因抵押人违约导致的损失。
抵押权设立的情况（假设已补办登记）：
- 若双方后续补办了抵押登记，则抵押权自登记时设立，抵押权人有权依据抵押权请求法院执行厂房。
- 执行过程中，法院将依法对厂房进行评估、拍卖或变卖，所得价款用于清偿债务。
其他执行途径：
- 若抵押合同中约定了其他担保方式（如保证、质押等），且这些担保方式合法有效，抵押权人可以依据这些约定请求法院执行相关担保财产。
- 若抵押人（法人）存在其他可供执行的财产，抵押权人也可以申请法院执行这些财产以清偿债务。
三、建议与风险提示
- 及时办理抵押登记：为确保抵押权的有效设立和执行，建议双方在签订抵押合同后尽快办理抵押登记手续。
- 完善合同条款：在抵押合同中明确约定违约责任、争议解决方式等条款，以降低法律风险。
- 关注抵押人财产状况：定期关注抵押人的财产状况，确保在抵押权实现时能够顺利执行。
- 咨询专业律师：在涉及复杂法律问题时，建议咨询专业律师以获取更全面、准确的法律意见。
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