面对打人者在案发第一时间逃跑的情况，作为受害者，您需要采取一系列措施来维护自己的合法权益，并确保打人者受到应有的法律制裁。以下是我为您详细梳理的应对步骤：

一、立即报警并保护现场

1. 及时报警：发现打人者逃跑后，请第一时间拨打110报警电话。在报警时，尽量详细地描述事件发生的时间、地点、打人者的外貌特征（如身高、体型、穿着、口音、面部特征等）以及逃跑方向。这些信息对警方迅速展开追捕和调查工作至关重要。

2. 保护现场：在确保自身安全的前提下，尽量保护好案发现场，不破坏可能遗留的与案件相关的重要证据，如血迹、打斗痕迹、作案工具等。这些证据对查明案件真相具有关键作用。

二、就医并进行伤情鉴定

1. 及时就医：尽快前往医院进行检查和治疗，确保自己的健康。同时，务必保留好所有与就医相关的凭证，包括病历、诊断证明、检查报告、缴费单据等。这些材料是证明您受伤情况的重要依据，也是后续民事赔偿的关键证据。

2. 进行伤情鉴定：在医院进行伤情鉴定，并由法医出具鉴定报告。伤情鉴定结果将作为追究打人者法律责任的重要依据。根据鉴定结果，可以确定打人者应承担的法律责任类型和程度。

三、保留证据并配合警方调查

1. 保留证据：如果现场有监控视频，请尽快联系相关人员或部门保存视频证据。同时，您身上的伤痕也是重要证据，可以拍照留存。此外，医院的诊断证明、病历等医疗文件同样具有法律效力，请妥善保管。

2. 配合警方调查：积极提供自己所知道的一切信息，如实陈述事件的经过和细节。按照警方要求提供相关信息，协助绘制嫌疑人画像或提供其他有助于破案的线索。您的配合将大大提高警方破案的效率。

四、关注案件进展并寻求法律援助

1. 关注案件进展：派出所民警会定期向您通报案件的侦查进展情况。您可以主动与警方联系，了解案件的最新动态，并表达自己的诉求和期望。

2. 寻求法律援助：如果您经济状况困难且符合法律援助条件，可以向当地法律援助机构申请法律援助。专业律师将为您提供法律咨询、代理诉讼等帮助和支持，确保您的合法权益得到充分维护。

五、追究打人者的法律责任并提起民事赔偿

1. 追究法律责任：根据伤情鉴定结果和调查收集的证据，警方将对案件进行定性。如果您的伤情达到轻伤及以上程度，打人者的行为可能涉嫌故意伤害罪，案件将转为刑事案件办理。此时，您可以向公安机关提出刑事控告，要求追究打人者的刑事责任。

2. 提起民事赔偿：在刑事案件处理过程中，您可以通过附带民事诉讼的方式，要求打人者赔偿因受伤所遭受的经济损失，如医疗费、误工费、护理费、营养费、交通费等。如果造成残疾，您还可以要求赔偿残疾赔偿金、精神损害抚慰金等。

综上所述，面对打人者逃跑的情况，您应保持冷静并采取上述措施来维护自己的合法权益。通过报警、保护现场、就医鉴定、保留证据、配合调查、寻求法律援助及提起民事赔偿等步骤，您可以有效追究打人者的法律责任并获得应有的赔偿。