当嫌疑人因介绍卖淫被刑事拘留37天后，若检察院不批捕，且这一决定恰好逢星期天，司法实践中的处理方式会遵循严格的法律程序，并确保当事人的合法权益得到充分保障。以下是对此情况的详细解答：

一、法律程序与期限说明

首先，需要明确的是，根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，刑事拘留的最长期限通常为30天，但在特殊情况下（如流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子），可以延长至37天。检察院在接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，必须作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。若检察院不批捕，且这一决定日恰好是星期天，这并不影响决定的法律效力，但公安机关的执行可能会因周末而稍有延迟，不过通常会在下一个工作日立即执行。

二、检察院不批捕的可能原因

检察院不批捕可能基于多种原因，包括但不限于：

1. 证据不足：现有证据不足以证明犯罪嫌疑人构成犯罪，或关键证据尚未收集完备。
2. 情节较轻：犯罪行为的社会危害性较低，可能判处管制、拘役或独立适用附加刑。
3. 无社会危险性：嫌疑人无继续危害社会的可能性，无需通过羁押来保障诉讼程序。
4. 法律适用争议：对罪名定性或法律条款适用存在分歧，需进一步研究确认。

三、公安机关的后续处理方式

1. 立即释放：

   • 若检察院作出不批捕决定，且不存在需要继续侦查并符合变更强制措施条件的情形，公安机关应立即释放被拘留人，并发给释放证明。

2. 变更强制措施：

   • 取保候审：如果嫌疑人符合取保候审的条件（如可能判处管制、拘役或独立适用附加刑；可能判处有期徒刑以上刑罚但采取取保不致发生社会危险；患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或哺乳妇女；羁押期限届满且案件未办结），公安机关可以决定对其取保候审。
   • 监视居住：在符合逮捕条件但因特殊原因（如严重疾病、怀孕等）不宜羁押，或系生活不能自理的人的唯一扶养人，或案件特殊情况或办理需要，或羁押期限届满且案件未办结的情况下，公安机关可以决定对嫌疑人监视居住。

3. 继续侦查与补充证据：

   • 即使检察院不批捕，公安机关仍可根据案件需要继续侦查，以获取更多证据或确认案情。在继续侦查过程中，若发现新证据足以证明犯罪嫌疑人符合逮捕条件，公安机关可再次向检察院提请批准逮捕。

四、特殊情况下的处理（如逢星期天）

若检察院不批捕的决定日恰好是星期天，公安机关通常会在下一个工作日立即执行释放或变更强制措施的决定。同时，公安机关会确保在整个过程中严格遵守法律程序，保障当事人的合法权益。

五、当事人权利救济

• 申请国家赔偿：若最终被确认无罪，嫌疑人可依据《国家赔偿法》主张权利。
• 委托律师介入：嫌疑人及其家属有权及时聘请专业律师提供法律咨询、代理申诉控告，以维护自身权益。

综上所述，当嫌疑人因介绍卖淫被刑事拘留37天后检察院不批捕时，公安机关应依据法律规定立即释放或变更强制措施，并及时通知人民检察院。同时，公安机关有权根据案件需要继续侦查，并在符合法定条件下再次提请批准逮捕。整个过程中需严格遵守法律程序，保障当事人的合法权益。