员工离职当天与管理人员打架，企业应立即启动内部处理程序并视情况报警，同时需根据打架事件的严重程度及后果，分别承担相应的管理责任、民事赔偿责任，甚至可能涉及刑事责任。具体处理方式如下：
立即制止并隔离双方：企业应第一时间安排安保人员或其他在场员工制止打架行为，防止事态进一步恶化，并将双方带离现场，避免再次冲突。此举旨在保护员工人身安全，减少企业损失，并为后续调查取证创造条件。
调查取证：企业应迅速成立调查小组，收集现场监控录像、目击者证言、双方陈述等证据，明确打架的起因、经过及责任划分。调查过程中，应确保程序公正，避免偏袒任何一方，为后续处理提供客观依据。
根据企业规章制度处理：若打架行为违反了企业的规章制度，如《员工手册》中关于“禁止打架斗殴”的规定，企业可依据规章制度对涉事员工进行相应处罚，如警告、罚款、解除劳动合同等。需注意，若员工已提出离职且离职手续已办理完毕，企业可能无法直接对其施加纪律处分，但仍可就打架行为造成的损失要求赔偿。
报警处理：若打架行为造成人员受伤或财产损失，企业应立即报警，由公安机关介入调查。根据《治安管理处罚法》或《刑法》的相关规定，涉事员工可能面临行政处罚（如拘留、罚款）或刑事处罚（如故意伤害罪）。企业应配合公安机关的调查工作，提供必要的证据材料。
民事赔偿：若打架行为导致企业财产损失或员工人身伤害，企业或受伤员工有权要求涉事员工承担民事赔偿责任。赔偿范围包括但不限于医疗费、误工费、财产损失等。企业可协助受伤员工通过法律途径追偿，或直接向涉事员工索赔。
后续管理建议：企业应借此机会加强员工法治教育，提高员工法律意识，避免类似事件再次发生。同时，企业应完善内部管理制度，明确打架斗殴等违规行为的处理流程，确保企业在面对类似事件时能够迅速、有效地应对。
若您在处理此类事件时遇到法律难题，或需要进一步的法律指导，请随时向我咨询，我将为您提供专业、全面的法律支持。