结论：公交司机肇事后，用人单位（公交公司）是否承担赔偿责任，需根据事故责任归属、司机行为性质及法律规定综合判断。一般情况下，公交公司需先行承担民事赔偿责任；若司机存在故意或重大过失，公交公司可向其追偿；若司机构成刑事犯罪，还需承担刑事责任及相应的赔偿责任。以下是对此问题的详细分析：
一、民事赔偿层面
司机执行工作任务期间
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条规定，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。因此，公交车司机在执行工作任务时发生事故，一般先由公交公司承担对乘客或第三方的民事赔偿责任。
- 例如，公交车在正常运营过程中与其他车辆碰撞，导致损害，公交公司需根据责任认定进行赔偿。
司机过错导致的事故
- 如果事故是由于司机的过错导致的，如超速、违规变道等，司机虽在执行工作任务，但仍可能因其个人行为导致事故发生。此时，公交公司在承担赔偿责任后，可根据内部管理规定或合同约定向司机追偿部分或全部费用。
- 同时，受害乘客或第三方也可直接向公交公司和司机提出索赔要求。
非司机过错的事故
- 若事故是由其他车辆或行人的过错导致的，司机无需承担赔偿责任，责任应由对方承担。
- 在这种情况下，公交公司和司机应积极配合受害者向责任方索赔。
乘客自身责任
- 如果乘客因自身原因（如未坐稳摔伤、自己放置物品导致摔倒）受伤，乘客可能需要自行承担部分或全部责任，或者与公交公司根据各自过错程度分担责任。
二、刑事赔偿层面
司机未构成刑事犯罪
- 如果公交车事故仅为一般的交通事故，不涉及刑事犯罪，则主要以民事赔偿为主，不涉及刑事赔偿问题。
司机构成刑事犯罪
- 当司机的行为构成交通肇事罪等刑事犯罪时，除需承担刑事责任外（如有期徒刑、拘役等刑罚），还需对受害人的物质损失承担赔偿责任。
- 例如，司机违反交通运输管理法规，导致重大事故，致人重伤、死亡或公私财产遭受重大损失的，除刑罚外，还需赔偿受害人的医疗费、误工费、丧葬费等物质损失。
三、特殊情况处理
- 故意碰撞：如果交通事故的损失是由非机动车驾驶人、行人故意碰撞公交车造成的，公交车一方不承担赔偿责任。这种情况下，保险公司和公交公司都无需进行赔偿。
- 间接损失：如果对方是营运车辆，因交通事故产生间接损失的（如停运损失），这部分损失通常不在保险赔偿范围内，可能需要由公交公司或司机个人进行赔偿，具体取决于事故责任和保险条款。
总结与建议：公交司机肇事后，用人单位（公交公司）的赔偿责任需根据具体情况判断。在处理此类事故时，建议公交公司或受害者及时寻求专业律师的帮助，以确保自身权益得到妥善保护。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的解答。