针对船舶涉嫌非法运油时存油的处理问题，结合相关法律规定与实务操作，具体处理方式如下：

1. 存油的查封与扣押
   根据《中华人民共和国行政强制法》及《海关法》相关规定，执法部门（如海事局、海关、公安边防等）在查处非法运油行为时，有权对涉案船舶上的存油进行查封、扣押。具体操作包括：

   • 制作现场笔录，记录存油数量、种类、存放位置等信息；
     
   • 对存油进行抽样送检，确认油品性质（如是否为走私油、劣质油等）；
     
   • 将存油转移至指定仓库或采取其他安全保管措施，防止油品泄漏或灭失。

2. 存油的性质认定与处置
   存油的最终处理需根据其性质及案件定性决定：

   • 若存油被认定为走私油：根据《海关法》第九十二条，走私货物、物品需由海关依法没收，上缴国库。存油可能被拍卖或销毁（如油品质量不达标）。
     
   • 若存油被认定为非法运输的合格油品：可能面临行政处罚（如罚款、没收违法所得），存油可能被返还给合法所有人（如船舶所有人能证明油品来源合法），或由执法部门依法拍卖后上缴国库。
     
   • 若存油涉及危险品违规：根据《危险化学品安全管理条例》，可能需由环保部门或专业机构进行无害化处理，相关费用由责任人承担。

3. 船舶所有人的权利与义务

   • 权利：船舶所有人有权对存油的查封、扣押行为提出异议，或申请行政复议、提起行政诉讼；若存油被错误处置，可要求赔偿。
     
   • 义务：需配合执法部门调查，提供存油来源、运输合同等证明材料；若存油涉及违法，需承担相应法律责任（如罚款、没收违法所得等）。

4. 实务建议

   • 及时固定证据：船舶所有人应保存存油购买凭证、运输合同等文件，以证明油品来源合法；
     
   • 主动配合调查：避免因抗拒执法加重处罚；
     
   • 咨询专业律师：针对存油处置、案件定性等问题，建议及时向我咨询，制定应对策略。
     

总结：存油的处理需结合案件性质（如是否走私、油品是否合格等）及执法程序，可能面临没收、返还或销毁等结果。船舶所有人应积极配合调查，并通过法律途径维护自身权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作流程。